Das Bogenmaß gibt die Größe eines Winkels als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius an. Für physikalische und mathematische Zwecke ist das Bogenmaß die natürliche Einheit zur Winkelmessung; für den Alltagsgebrauch ist es aber unpraktisch, da die üblichen Winkel im Bogenmaß durch irrationale Zahlen beschrieben werden.

Das Bogenmaß wird in der dimensionslosen SI-Einheit Radiant mit dem Einheitenzeichen rad, manchmal auch arc, gemessen.

Der Umrechungsfaktor eines Winkels α von rad in Grad lautet:

$\backslash alpha\_\{\backslash rm\; grad\}\; =\; \backslash frac\{180^\backslash circ\}\{\backslash pi\; \backslash cdot\; \{\backslash rm\; rad\}\}\; \backslash cdot\; \backslash alpha\_\{\backslash rm\; bogen\}\; \backslash approx\; 57\{,\}30\; \backslash cdot\; \backslash frac\{\backslash rm\; Grad\}\{\backslash rm\; rad\}\; \backslash cdot\; \backslash alpha\_\{\backslash rm\; bogen\}$

Die Angaben Bogenminute und Bogensekunde beziehen sich nicht auf das Bogenmaß, sondern sind abgeleitete Größen der Einheit Grad.

Das Bogenmaß als SI-Einheit

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Das Bogenmaß gibt die Größe eines Winkels als Verhältnis von Bogenlänge zu Radius in einem (gedachten) Kreis an. Spannt beispielsweise in einem Kreis mit einem Radius von 2 Metern ein Kreiswinkel eine Kreisbogenlänge von 0,5 Metern auf, so berechnet sich das Bogenmaß mit 0,5 m / 2 m und beträgt folglich 0,25.

Der Umfang eines vollen Kreises ist das $2\; \backslash pi$-fache seines Radius (Radius x 2 x $\backslash pi$); somit beträgt das Bogenmaß des zum Vollkreis gehörenden Winkels $2\; \backslash pi$; dieser Winkel wird auch Vollwinkel genannt und ist in Deutschland eine gesetzliche Einheit im Messwesen, übrigens eine ohne Einheitenzeichen.

Hinweis wegen eventueller Verwechslungsgefahr: Bis 31. Dezember 1977 war in Deutschland das Rad mit dem Einheitenzeichen rd gesetzliche Einheit der Energie- und Äquivalentdosis; 1 rd = 1 cGy = 1 cJ/kg.

Das Bogenmaß ist dimensionslos.

Die Einheit für ebene Winkel ist im SI 1 m/m = 1. Für diese abgeleitete SI-Einheit darf bei der Angabe von ebenen Winkel auch der spezielle Name Radiant mit dem Einheitenzeichen rad benutzt werden. Diese Festlegung wurde von den deutschen Rechtsvorschriften über die gesetzlichen Einheiten im Messwesen übernommen. Danach darf der Radiant nicht zusammen mit SI-Vorsätzen benutzt werden, es gibt also beispielsweise weder eine gesetzliche Einheit Millirad, noch ein gesetzliches Einheitenzeichen crad u. s. w.

Im Gegensatz dazu wird bei den z. B. in der Nautik üblichen Winkelangaben der Vollkreis in 360 Teile oder 360° (Grad) aufgeteilt und der Winkel als Vielfaches der Einheit Grad angegeben.

Umrechnung zu Grad

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Bogenmass.gif Es gibt 2π (etwa 6,283185307) als Bogenmaß in einem vollständigem Kreis, daher ist:

$$

2\pi \, \mbox{rad} = 360^\circ

$$

1 \, \mbox{rad} = \frac {360^\circ} {2 \pi} = \frac {180^\circ} {\pi} \approx 57{,}29577951^\circ

oder:

$$

360^\circ=2\pi \,\mbox{rad}

$$

1^\circ=\frac{2\pi}{360} \,\mbox{rad}=\frac{\pi}{180}\mbox{rad} \approx 0{,}01745329 \,\mbox{rad}

Für die Umrechnung von Grad nach Bogenmaß gilt daher:

$$

{\rm Winkel}_{\rm Bogenmass} = \frac{{\rm Winkel}_{\rm Grad} \cdot \pi} {180}, für die Umrechnung von Bogenmaß nach Grad gilt:

$$

{\rm Winkel}_{\rm Grad} = \frac{{\rm Winkel}_{\rm Bogenmass} \cdot 180} {\pi}

Häufig benötigte Werte finden sich in folgender Tabelle:

$\backslash begin\{matrix\}$

0^\circ &=& 0 \\ 45^\circ &=& \frac{1}{4} \pi \\ 57^\circ\, 17'\, 44'' &\approx& 1 \\ 90^\circ &=& \frac{1}{2} \pi \\ 180^\circ &=& \pi \\ 270^\circ &=& \frac{3}{2}\pi \\ 360^\circ &=& 2\pi \end{matrix}

Taschenrechner und Computer

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Wissenschaftliche Taschenrechner berechnen Winkelfunktionen wahlweise im Bogenmaß oder Grad, manchmal zusätzlich auch Neugrad. Der Modus zur Berechnung im Bogenmaß ist auf den meisten Taschenrechnern mit rad gekennzeichnet, Grad mit deg und Neugrad mit grad.

In mathematischen Bibliotheken für Programmiersprachen verwenden die Winkelfunktionen stets das Bogenmaß. Um Gradangaben zu erhalten, müssen die obenstehenden Umrechnungsformeln angewandt werden.

Das Bogenmaß in der Physik

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In der Physik tritt das Bogenmaß beispielsweise bei der Berechnung der Zentripetalkraft auf. Die Zentripetalkraft beträgt

$F\_Z=m\; \backslash omega^2r\backslash ;$

und die Zentripetalbeschleunigung

$a\_Z=\backslash omega^2\; r\backslash ;$,

wobei $\backslash omega\; =\; 2\backslash pi\; f\backslash ;$ die Kreisfrequenz, also die Winkelgeschwindigkeit gemessen in Bogenmaß, ist. In dieser Formel ist das Bogenmaß die natürliche Einheit der Winkelgeschwindigkeit; würde man $\backslash omega\backslash ;$ anstelle im Bogenmaß beispielsweise in Grad pro Sekunde angeben, so würde die Formel

$a\_Z=\backslash left(\backslash frac\{2\backslash pi\}\{360^\backslash circ\}\backslash right)^2\backslash omega^2\; r\backslash ;$,

lauten; es wären dann also zusätzliche Umrechnungsfaktoren zu berücksichtigen.

Beispiel

Eine Zentrifuge dreht mit 1200 Umdrehungen pro Minute. Welche Zentripetalbeschleunigung wirkt bei einem Radius von 20 cm?

1200 Umdrehungen pro Minute entsprechen einer Frequenz von $f\; =\; 20$ Umdrehungen pro Sekunde; die Kreisfrequenz ist also $\backslash omega\; =\; 2\backslash pi\; f\; \backslash approx\; 125\{,\}7$ rad pro Sekunde. Das ergibt eine Zentriptealbeschleunigung von $a\_\{\backslash rm\; Z\}\; =\; \backslash omega^2\; r\; \backslash approx\; 125\{,\}7^2\; \backslash cdot\; 0\{,\}2\; \backslash approx\; 3160\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; m\}\{\backslash mathrm\; s^2\}$, das ist ca. die 320-fache Fallbeschleunigung an der Erdoberfläche.

Das Bogenmaß in der Mathematik

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Winkelfunktionen

In der Mathematik tritt das Bogenmaß insbesondere bei den Winkelfunktionen Sinus und Kosinus auf. Für die Ableitungen dieser Funktionen gilt

$$

\sin^\prime x = \frac{2\pi}{c}\cos x,

$$

\cos^\prime x = -\frac{2\pi}{c}\sin x, wobei die Konstante $c\backslash ;$ das Winkelmaß des vollen Kreises, also 360 für Altgrad oder 400 für Neugrad ist. Misst man im Bogenmaß, so ist $c=2\backslash pi\backslash ;$, der Faktor ist 1, und die Formeln vereinfachen sich zu

$$

\sin^\prime x = \cos x

$$

\cos^\prime x = -\sin x. Aus diesem Grund wird in der Differentialrechnung der Winkel ausschließlich im Bogenmaß gemessen.

Fläche und Bogenmaß

Wenn $x$ das Bogenmaß des Winkels ist, so ist die Fläche des dazugehörigen Kreissektors $A=r^2x/2$, also ist $x=2A/r^2$. Alternativ lässt sich daher das Bogenmaß auch als das doppelte Verhältnis von Kreissektorfläche zu Quadrat des Radius oder auch als die doppelte Fläche des entsprechenden Kreissektors am Einheitskreis definieren. Beispielsweise hat ein Viertel des Einheitskreises, also ein Winkel von $\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$ im Bogenmaß, eine Fläche von $A=\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$. Dieser Zugang ist unter anderem zweckmäßig bei der Interpretation der Area-Funktionen als Flächen, siehe dazu auch Kreis- und Hyperbelfunktionen.

Weblinks

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• Das Bogenmaß und die Berechnung
• Umrechnung von Bogenmaß (RAD) in Winkelgrad (DEG) und von Winkelgrad in Bogenmaß

SI-Einheit

Радиан | Radiant (angle) | Radián | Radian | Radian | Radiano | Radián | Radiaan | Radiaani | Radian | Radián | רדיאן | Radiante | ラジアン | 라디안 | Radiaal | Radian | Radian | Radian | Radiano | Радиан | Radián | Radian | Радијан | Radian | Радіан | 弧度