Längen von Strecken

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Sind $A$ und $B$ zwei Punkte im Anschauungsraum $\backslash R^3$ mit den jeweiligen Koordinaten $(a\_1,a\_2,a\_3)$ bzw. $(b\_1,b\_2,b\_3)$, so ist die Länge der Strecke $AB$ nach dem Satz des Pythagoras gleich

$\backslash sqrt\{(a\_1-b\_1)^2+(a\_2-b\_2)^2+(a\_3-b\_3)^2\}.$

Es gibt im wesentlichen zwei Sichtweisen, wie man derartige Formeln verallgemeinern kann:

• Man interpretiert die Länge der Strecke $AB$ als die Länge des Vektors $\backslash overrightarrow\{AB\}$ und definiert Längenmaße für Vektoren. Der entsprechende verallgemeinerte Längenbegriff für Vektoren heißt Norm.
• Noch allgemeiner ist der Ansatz, statt Streckenlängen den Abstand der Endpunkte zu betrachten. Allgemeine Abstandsbegriffe heißen Metriken.

Längen von Wegen

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Ein Weg ist eine stetige Funktion $*\backslash to\; X$ von einem Intervall in einen topologischen Raum $X$. Um Wegen eine Länge zuschreiben zu können, muss dieser Raum jedoch eine Zusatzstruktur aufweisen. Im einfachsten Fall ist $X$ die Ebene oder der Anschauungsraum mit dem üblichen Längenbegriff für Strecken; Verallgemeinerungen sind möglich für riemannsche Mannigfaltigkeiten oder beliebige metrische Räume.

Wege in der Ebene und im Raum

Ein Weg in der Ebene bzw. im Raum ist durch zwei bzw. drei Koordinatenfunktionen gegeben:

$t\backslash mapsto(x(t),y(t))$ bzw. $t\backslash mapsto(x(t),y(t),z(t))$ für $a\backslash leq\; t\backslash leq\; b$.

Für stückweise stetig differenzierbare Wege ist die Länge durch das Integral über die Länge des Ableitungsvektors gegeben:

$L\; =\; \backslash int\_a^b\backslash sqrt\{\backslash dot\; x(t)^2+\backslash dot\; y(t)^2\}\backslash ,\backslash mathrm\; dt$ bzw. $\backslash int\_a^b\backslash sqrt\{\backslash dot\; x(t)^2+\backslash dot\; y(t)^2+\backslash dot\; z(t)^2\}\backslash ,\backslash mathrm\; dt.$

Motivation

Das Bogenstück auf einer ebenen Kurve $\backslash begin\{matrix\}\; f(t)=(x(t),y(t))\; \backslash end\{matrix\}$ wird dabei in kleine Geradenstücke $\backslash Delta\; s$ unterteilt, welche in zwei Komponenten $\backslash Delta\; x$ und $\backslash Delta\; y$ parallel zu den Koordinatenachsen zerlegt werden. Dabei gilt der Satz des Pythagoras $(\backslash Delta\; s)^2\; =\; (\backslash Delta\; x)^2\; +\; (\backslash Delta\; y)^2$. Die Gesamtlänge ist die Summe aller Teilstücke:

$L\; =\; \backslash sum\; \backslash Delta\; s\; =\; \backslash sum\; \backslash sqrt\{(\backslash Delta\; x)^2\; +\; (\backslash Delta\; y)^2\; \}\; =\; \backslash sum\; \backslash sqrt\{\backslash left(\backslash frac\{\backslash Delta\; x\}\{\backslash Delta\; t\}\backslash right)^2\; +\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; t\}\backslash right)^2\}\; \backslash Delta\; t$

Gehen wir von der Konvergenz des Sachverhaltes aus und geben das Ergebnis ohne exakte Grenzwertberechnung an, so ist die Länge $L$ die Summe aller infinitesimal kleinen Geradenstücke, also

$L\; =\; \backslash int\; \backslash mathrm\{d\}s\; =\backslash int\; \backslash sqrt\{\backslash dot\{x\}^2+\backslash dot\{y\}^2\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}t$.

Physikalisch kann der Integrand auch als Betrag der Momentangeschwindigkeit und die Integrationsvariable als die Zeit aufgefasst werden.

Beispiele

• Die Kreislinie mit Radius $r$

$t\backslash mapsto(r\backslash cdot\backslash cos\; t,r\backslash cdot\backslash sin\; t)$ für $0\backslash leq\; t\backslash leq2\backslash pi$

hat die Länge

$\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}\backslash sqrt\{r^2\backslash sin^2t+r^2\backslash cos^2t\}\backslash ,\backslash mathrm\; dt=\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}r\backslash ,\backslash mathrm\; dt=2\backslash pi\; r.$

• Ein Stück einer Schraubenlinie mit Radius $r$ und Ganghöhe $h$

$t\backslash mapsto\backslash Big(r\backslash cdot\backslash cos\; t,r\backslash cdot\backslash sin\; t,\backslash frac\{t\backslash cdot\; h\}\{2\backslash pi\}\backslash Big)$ für $0\backslash leq\; t\backslash leq2\backslash pi$

hat die Länge

$\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}\backslash sqrt\{r^2\backslash sin^2t+r^2\backslash cos^2t+\backslash Big(\backslash frac\; h\{2\backslash pi\}\backslash Big)^2\}\backslash ,\backslash mathrm\; dt=\backslash int\_0^\{2\backslash pi\}\backslash sqrt\{r^2+\backslash Big(\backslash frac\; h\{2\backslash pi\}\backslash Big)^2\}\backslash ,\backslash mathrm\; dt=\backslash sqrt\{(2\backslash pi\; r)^2+h^2\}.$

Spezialfälle

Länge eines Funktionsgraphen

Sei die Funktion $f:x\; \backslash rightarrow\; f(x)$ eine differenzierbare Funktion auf $*\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ dann berechnet sich die Länge $L$ zwischen den Punkten $\backslash begin\{matrix\}\; A(a|f(a))\; \backslash end\{matrix\}$ und $\backslash begin\{matrix\}\; B(b|f(b))\; \backslash end\{matrix\}$ wie folgt:

$L=\backslash int\_\{a\}^\{b\}\; \backslash sqrt\{1+(f\text{'}(x))^2\}\backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}x\; \backslash qquad\; (*)$

Beispiel: Der Umfang eines Kreises lässt sich mit Hilfe von $\backslash begin\{matrix\}\; (*)\backslash end\{matrix\}$ berechnen. Ein Kreis mit dem Radius $r$ erfüllt die Gleichung $x^2+y^2\; =\; r^2$ bzw. $f(x)=\backslash sqrt\{r^2-x^2\}.$ Die Ableitung lautet: $f\text{'}(x)=\backslash frac\{-x\}\{\backslash sqrt\{r^2-x^2\}\}$.

Wendet man die Formel $\backslash begin\{matrix\}\; (*)\backslash end\{matrix\}$ an, so folgt:

$$

L = 2 \int_{-r}^{r} \sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}\, \mathrm{d}x = 2r \int_{-r}^{r} \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{r^2-x^2}}\,=2r \arcsin(1) - 2r \arcsin(-1) = 2 \pi r

Polarkoordinaten

Ist eine ebene Kurve in Polarkoordinatendarstellung $r(\backslash varphi)$ gegeben, also

$\backslash varphi\backslash mapsto(r(\backslash varphi)\backslash cos\backslash varphi,r(\backslash varphi)\backslash sin\backslash varphi)$ für $\backslash varphi\_0\backslash leq\; \backslash varphi\backslash leq\; \backslash varphi\_1$,

so erhält man aus der Produktregel

$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}x\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\}=r^\backslash prime(\backslash varphi)\backslash cos\backslash varphi-r(\backslash varphi)\backslash sin\backslash varphi$ und

$\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}y\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\}=r^\backslash prime(\backslash varphi)\backslash sin\backslash varphi+r(\backslash varphi)\backslash cos\backslash varphi$, somit also

$\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}x\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\}\backslash right)^2+\backslash left(\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}y\}\{\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\}\backslash right)^2\; =\; \backslash left(r^\backslash prime(\backslash varphi)\backslash right)^2+r^2(\backslash varphi)$.

Die Länge der Kurve in Polarkoordinatendarstellung ist daher

$L=\backslash int\_\{\backslash varphi\_0\}^\{\backslash varphi\_1\}\backslash sqrt\{\backslash left(r^\backslash prime(\backslash varphi)\backslash right)^2+r^2(\backslash varphi)\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi$.

Wege in riemannschen Mannigfaltigkeiten

Ist allgemein $\backslash gamma\backslash colon*\backslash to\; M$ ein stückweise differenzierbarer Weg in einer riemannschen Mannigfaltigkeit, so kann man die Länge von $\backslash gamma$ definieren als

$L(\backslash gamma)\; =\; \backslash int\_a^b\backslash |\backslash dot\backslash gamma(t)\backslash |\backslash ,\backslash mathrm\; dt.$

Rektifizierbare Wege in beliebigen metrischen Räumen

Es sei $(X,d)$ ein metrischer Raum und $\backslash gamma\backslash colon*\backslash to\; X$ ein Weg in $X$. Dann heißt $\backslash gamma$ rektifizierbar, wenn das Supremum

endlich ist. In diesem Falle nennt man $L(\backslash gamma)$ die Länge des Weges $\backslash gamma$.

Die Länge eines rektifizierbaren Weges ist also das Supremum der Längen aller Approximationen des Weges durch Streckenzüge. Für die oben betrachteten differenzierbaren Wege stimmen die beiden Definitionen der Länge überein.

Es gibt stetige Kurven, die nicht rektifizierbar sind, beispielsweise die Koch-Kurve oder andere Fraktale sowie fast sicher die Pfade eines Wiener-Prozesses.

Längen von Kurven

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Definition der Länge einer Kurve

Die Bildmenge eines Weges wird als Kurve bezeichnet. Zwei verschiedene Wege können das selbe Bild haben, die selbe Kurve kann also durch verschiedene Wege parametrisiert werden. Es ist naheliegend, die Länge einer Kurve als die Länge eines dazugehörigen Weges zu definieren; das setzt aber voraus, dass die Länge für jede Parametrisierung den selben Wert liefert. Anschaulich ist das klar, und es lässt sich tatsächlich für injektive Parametrisierungen zeigen. Insbesondere gilt:

Seien $\backslash gamma\_1:\backslash R^n$ und . Dann gilt $L\backslash left(\backslash gamma\_1\backslash right)=L\backslash left(\backslash gamma\_2\backslash right)$.

Parametrisierung einer Kurve nach der Weglänge

Wie bereits gesagt, gibt es für eine Kurve verschiedene Parametrisierungen. Eine besondere Parametrisierung ist dabei die Parametrisierung nach der Weglänge:

Ist $\backslash Gamma$ eine rektifizierbare Kurve mit der Parametrisierung

$\backslash gamma:\; \backslash left\backslash \{\backslash begin\{matrix\}$

^* & \to & \R^n \\ \tau & \mapsto & \gamma(\tau) \end{matrix}\right.

und $\backslash Gamma\_t$ für , so bezeichnet man die Funktion

$s(t):\; \backslash left\backslash \{\backslash begin\{matrix\}$

^* & \to & \R \\ t & \mapsto & L\left(\Gamma_t \right) \end{matrix}\right. als Weglängenfunktion von $\backslash Gamma$. Diese Weglängenfunktion $s(t)$ ist stetig und monoton wachsend, für $\backslash gamma$ injektiv sogar streng monoton wachsend und daher auch bijektiv. In diesem Fall existiert eine Umkehrfunktion $t(s)$. Die Funktion

$\backslash hat\{\backslash gamma\}:\; \backslash left\backslash \{\backslash begin\{matrix\}$

^* & \to & \R^n \\ s & \mapsto & \gamma(t(s)) \end{matrix}\right. wird dabei als die Parametrisierung von $\backslash Gamma$ mit der Bogenlänge als Parameter bezeichnet.

Ist $\backslash gamma$ stetig differenzieberbar und $\backslash dot\{\backslash gamma\}(\backslash tau)\backslash neq\; 0$ für alle

$\backslash left\backslash |\backslash frac\{\backslash mathrm\{d\}\backslash hat\{\backslash gamma\}(s)\}\{\backslash mathrm\{d\}s\}\backslash right\backslash |=1$

gilt. Mathematik