Das Black-Scholes-Modell ist ein finanzmathematisches Modell zur Bewertung von Finanzoptionen, das von Fischer Black und Myron Scholes 1973 (nach zweimaliger Ablehnung durch reputierte Zeitschriften) veröffentlicht wurde und als ein Meilenstein der Finanzwirtschaft gilt. Robert C. Merton war ebenfalls an der Ausarbeitung beteiligt, veröffentlichte jedoch einen separaten Artikel. Gerechterweise müsste das Modell daher auch seinen Namen tragen, was sich aber nie durchsetzte. Jedoch wurde Merton zusammen mit Scholes für die Entwicklung dieses Modells mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften 1997 geehrt, Black war bereits 1995 verstorben. Die Einmaligkeit und Originalität des Modelles von Black, Scholes und Merton ist heute umstritten. Bereits 1908 hatte der Triestiner Mathematiker Vinzenz Bronzin ein weitgehend identisches Modell entwickelt.

Annahmen für Black-Scholes Formel

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• Der Wert amerikanischer Calls auf Aktien ohne Dividende entspricht dem Wert des europäischen Calls$C\_\{e,0\}$
• friktionslose Märkte, No-Arbitrage-Bedingung
• stetiger Aktienkursverlauf (ohne Sprünge)
• keine Verallgemeinerung hat sich durchgesetzt, in der Praxis wird aufgrund der Erfahrung angepasst

Verallgemeinerungenen: Zinsen stochastisch und Zulassung vom Sprüngen

Annahme auflösen, dass keine Dividene bezahlt wird, dann nur für europäische Optionen. Dividende mit bekannte Höhe, bekannter Zeitpunkt.

cum Kurs, ex Kurs ausschlaggebend. Bereits heute wird wird die Option niedriger bewertet? wieivel, cum Kurs extrapoliert, ex Kurs rückwärtsrechnen

Fundamentalwert einer Aktie = Barwert aller zukünftigen Dividenen

$S\_0,cum=D*\; (1+r)^\{-t\_D\}\; +\; \backslash Sigma$ aller zukünftigen weiteren Dividenden

Summe aller weiteren Dividenden ist S_0,ex

$S\_\{0,ex\}=S\_cum\; -\; D(1+r)^\{t\_D\}$

Annahmen

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Das Modell basiert auf der Annahme, dass der natürliche Logarithmus des Basiswertes (also zB ein Aktienkurs) S einer Option einem sogenannten Wiener-Prozess folgt, so dass sich die Aktienpreise analog einer geometrischen Brownschen Bewegung verhalten:

$dS\_t\; =\; rS\_t\; dt\; +\; \backslash sigma\; S\_t\; dW\_t$. GBM density develop.png

Die Größe r gibt den risikofreien Zinssatz, $\backslash sigma$ die Volatilität, t die Zeit und dW eine zu $\backslash sqrt\{t\}$ proportionale, normalverteilte Zufallsgröße an. Das Modell nimmt an, dass der Markt Geldanlagen und -aufnahmen zum kontinuierlichen Zinssatz r ohne zusätzliche Kosten (Transaktionskosten) erlaubt.

Für den Diskontierungsfaktor df gilt somit: $df\; =\; e^\{-rT\}$

Ziel unter anderem ist die Bewertung (Preisbestimmung) eines europäischen Calls c und Puts p auf den Basiswert S mit einem Ausübungspreis K und einer Restlaufzeit von T.

BlackScholes-Callpreise.png Die Optionen erbringen somit am Ende der Laufzeit (in T) die Kapitalflüsse:

$CF(T,c)\; =\; max(S-K,0)$ beziehungsweise $CF(T,p)\; =\; max(X-K,0)$

Black und Scholes zeigen in ihrem Artikel, dass unter der Annahme einer konstanten Zins- und Volatilitätsentwicklung, die Option durch ein geeignetes Portfolio bestehend aus dem Basiswert S und einer Anlage oder einem Kredit mit dem Zinssatz r dynamisch dupliziert werden kann: Der faire Preis der Option bestimmt sich daher als diskontierter Erwartungswert der Auszahlungen in T, wobei der Erwartungswert bezüglich der Lognormalverteilung zu bilden ist (Konzept der risikoneutralen Bewertung):

$\backslash mathsf\{c=S\_0\backslash Phi(d\_1)-Ke^\{-rT\}\backslash Phi(d\_2)\}$
$\backslash mathsf\{p=Ke^\{-rT\}\backslash Phi(-d\_2)-S\_0\backslash Phi(-d\_1)\}$
wobei
$\backslash mathsf\{d\_1=\{\backslash ln(S\_0/K)+(r+\backslash sigma^2/2)T\backslash over\backslash sigma\backslash sqrt\{T\}\}\}$
$\backslash mathsf\{d\_2=d\_1-\backslash sigma\backslash sqrt\{T\}\}$
$\backslash Phi(x)=\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{x\}\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\}\backslash exp\{\backslash frac\{-z^2\}\{2\}\}dz$ die Verteilungsfunktion der Normalverteilung bezeichnet.

Unter Anwendung des Lemmas von Itō und der Annahme der Arbitragefreiheit kann unter den gleichen Annahmen die Black-Scholes Differentialgleichung hergeleitet werden.

$\backslash mathsf\{\backslash frac\{\backslash partial\; V\}\{\backslash partial\; t\}+rS\backslash frac\{\backslash partial\; V\}\{\backslash partial\; S\}+\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sigma^2S^2\backslash frac\{\backslash partial^2V\}\{\backslash partial\; S^2\}=rV\}$

V bezeichnet hierbei den Wert einer Option. Diese Differentialgleichung ist unter den gegebenen Annahmen für beliebige Aktienoptionen mit einfachem (europäischem) Kündigungsrecht gültig. Die Mathematik hinter dem Black-Scholes-Modell beruht auf der 1944/46 von Itō Kiyoshi begründeten Theorie der stochastischen Differentialgleichungen.

Die »Griechen« nach Black-Scholes

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Einflussfaktoren

Auf einer ersten Ebene wird der Wert einer Option durch 5 Parameter beeinflusst:

• $S\_0$: Aktueller Aktienkurs, wo bei fraglich ist von welchem Zeitpunkt dieser beobachtet wird
• $E$: Basispreis ist festgelegt und eindeutig
• $r$: Zinssatz, neben zeitlichen Unterschieden auch hinsichtlich der Wahl der Zinssatzes gleicher Laufzeit nicht eindeutig
• $\backslash sigma$: Die Volatilität ist schwierig zu bestimmen
• $T$: Zeitkonvention, Gegenstand von Festlegungen

Auf der Zweiten Ebene werden parteille Ableitungen des Optionswertes nach den Faktoren $S\_0,\; E,\; r,\; \backslash sigma~\; und~\; T$ vorgenommen.

Auf einer dritten Ebene erfolgt die zweite parteille Ableitung nach dem Aktienkurs $S\_0$.

Die zweite und dritte Ebene dieser Betrachtung bezeichnet man auch als "Optionsgriechen".

Demonstration der Optionsgriechen anhand der Entwicklung des Callwertes

Als »Griechen« (engl. »Greeks«) werden die Ableitungen des Optionspreises nach den jeweiligen Modellparametern bezeichnet. Sie helfen Händlern ihr Portfolio auszutarieren, Risiken einzuschätzen und zu kontrollieren.

BlackScholes-Callpreise.png

1. Auf der neben stehenden Grafik sind die Kurven mit europäischen Callwerten unterscheidlicher Restlaufzeit abgetragen. Diese sind überschneidungsfrei und um so höher je länger die Restlaufzeit. Die unterste, geknickte Kurve ist der innere Wert der Option in Abhängikeit des aktuellen Basiskurses heute.
2. Die Optionswert sind monton wachsend (Dies muss nicht allgemein zutreffen, wie etwa bei Zinsoptionen)
3. Der europäische Call liegt immer über dem inneren Wert. Dies bedeutet ökonomisch, dass es immer besser ist am Markt den Call am Markt zu verkaufen als vorher auszuüben, da der innere Wert kleiner ist als der Verakufspreis am Markt. Dies wird im Falle von amerikanischen Calls relevant, da diese ein vorzeitiges Ausübungsrecht besitzen. Generell gilt, dass bei amerikanischen Optionen die vorzeitige Ausübung wertlos ist, solange es sich um ein ertragsloses Gut handelt (keine Dividende innerhalb der Optionsfrist).
4. Sensitivität bezüglich Optionspreis: Delta: Steigung der Tangente an Optionswertkurve und entspricht dem Delta aus dem Binomialmodell.
   1. at the money ($S=E$): Das Delta liegt ungefähr bei 1/2. Je größer der Aktienkurs S_0 desto größer die Steigung, das Delta. Das bedeutet für eine ...
   2. deep in the money: Der Optionswert reagiert wie der Aktienkurs selbst.
5. Sensititvität des Deltas bezüglich Optionspreis: Gamma: Das Gamma ist die die Krümmung der Kurve, die Konvexität (mathematisch: zweite Ableitung des Callwerts nach dem Aktienkurs)
   1. deep out of the money: Gamma ist nahe Null, d.h. das Delta bleibt konstant.
   2. deep in the money: Gamma ist nahe Null.
6. Sensitivität bezüglich der Laufzeit: Theta: Veränderung des Optionswertes, wenn Kalenderzeit verstreicht. Kurz vor der Fälligkeit ist der Callwert außerordentlich zeitsensititv und besitzt eine hohe Konvexität.
   1. deep out of the money: großer Verlust der Position
   2. at the money: mittlerer Verlust
   3. deep in the money: großer Verlust

Analog lassen sich entsprechende Beziehungen auch für Putwerte ableiten.

Delta

BlackScholes-Delta.png | BlackScholes-Delta ttm.png Das Delta ist die Ableitung des Optionspreises nach dem Preis des Basiswertes. Im Black-Scholes Modell errechnet man das Delta direkt als: $\backslash Delta\_c=\backslash frac\{\backslash partial\; C\}\{\backslash partial\; S\}=\backslash Phi(d\_1)$ für den europäischen Call, bzw $\backslash Delta\_p=\backslash frac\{\backslash partial\; P\}\{\backslash partial\; S\}=-\backslash Phi(-d\_1)$ für den Put. Ein Delta-neutrales Portfolio besitzt ein Delta von Null, es ist daher (lokal; also für kurze Zeiträume) gegen Bewegungen des Basiswertes immun.

Gamma

Das Gamma ist die zweite Ableitung des Optionspreises nach dem Preis des Basiswertes. Es ist für Call und Put im Black Scholes Modell gleich und zwar $\backslash Gamma=\backslash frac\{\backslash partial^2\; C\}\{\backslash partial\; S^2\}=\backslash frac\{\backslash phi(d\_1)\}\{S\backslash sigma\backslash sqrt\{T\}\}$. Das Gamma ist also immer positiv, das heißt der Optionspreis ändert sich immer in die gleiche Richtung (steigen/fallen) wie die Volatilität. Ist die Option »at the money« (»am Geld«), kann das Gamma bei abnehmender Restlaufzeit über alle Schranken wachsen. BlackScholes-Gamma.png

Vega

Das Vega bezeichnet die Ableitung des Optionspreises nach der Volatilität und gibt somit an, wie stark eine Option auf Änderungen der (im Black-Scholes Modell konstanten!) Volatilität reagiert. Das Vega ist für einen europäischen Call und Put gleich und zwar $S\backslash sqrt\{T-t\}\backslash phi(d\_1)$.

Vega ist kein griechischer Buchstabe. Sigma ist als Zeichen schon für die Standardabweichung vergeben, die ja unter anderem als Volatilität interpretiert wird.

Theta

Das Theta bezeichnet die Ableitung nach der Zeit, gibt also die Sensitivität der Option auf Änderungen der Restlaufzeit an. Da sich - ceteris paribus - mit der Zeit der Wert einer Option an den Payoff zum Fälligkeitsdatum annähert, ist Theta immer negativ; man verliert mit der Zeit Geld. Es wird auch als Zeitwert der Option bezeichnet. Im Black-Scholes Modell ist es $\backslash Theta\_c=\backslash frac\{S\backslash phi(d\_1)\backslash sigma\}\{2\backslash sqrt\{T-t\}\}-rK\backslash exp\{-r(T-t)\}\backslash Phi(d\_2)$ bzw. $\backslash Theta\_p=\backslash frac\{S\backslash phi(d\_1)\backslash sigma\}\{2\backslash sqrt\{T-t\}\}+rK\backslash exp\{-r(T-t)\}\backslash Phi(-d\_2)$.

Rho

Mit Rho wird die Sensitivität der Option bei kleinen Änderungen des Zinssatzes bezeichnet.

Optionselastizität

Die Optionselastizität ist eine prozentuale Sensitivität:

$\backslash Omega\_c=\backslash frac\{\backslash frac\{\backslash Delta\; C\}\{C\}\}\{\backslash frac\{\backslash Delta\; S\}\{S\}\}=\backslash Delta\_C\; \backslash cdot\; \backslash frac\{S\}\{C\}\; >1$

Anwendung

Das Delta ist die bedeutendste Optionssensitivität. Wenn man eine Aktie besitzt so muiss das Delta mal die Calloption gleich dem N(x^-) sein. D.h bei einem Delta von 1/2, dass zwei Calloptionen so riskant wie eine Aktie sind. Das Delta kann maximal 1 betragen, was bedeutet, dass der Callpreis so wie die Aktie reagiert.

Es ist jedes beliebige Delta über Kauf und Verkauf erzeigbar. Damit kann eine Position bezüglich des Delta (der Aktienkursänderung) abgesichert werden.

Ein Optionshändler, der bespielsweise ein bezüglich des Delta gesichertes Portfolio über das Wcohenende hält, hält aber dennoch keine vollkommen risikolose Position. Denn über das Wochenende verliert die Position an Zeitwert (Theta). Um diesen Zusammenhang auszunutzen müssten alle Marktteilnehmer den Tiel short gehen. Dies trifft aber nicht zu, da sich die Konvexität (Gamma) in eine andere Richtung bewegt. Der Vorteil der Konvexität (Gamma positiv) ist, dass, wenn der Aktienkurs steigt, dies immer positiv ist. Dies bedeutet aber für denjenigen der den Titel short geht, dass er bei einem steigenden Aktienkurs verliert.

Probleme des Modells

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Trotz der berechtigten Kritikpunkte ist die Black-Scholes-Formel aus der Finanzwelt nicht mehr wegzudenken:

1. Es wird eine konstante Volatilität angenommen. Erweiterte Modelle, in denen die Volatilität als fallende Funktion vom Aktienkurs angenommen werden, wie z.B. das CEV-Modell, liefern bessere Resultate.
2. Die Black-Scholes-Formel steht und fällt mit der Schätzung der Volatilität. Wird zur Berechnung die Implizite Volatilität herangezogen, dann ist das Ergebnis nicht besonders befriedigend. Die Abschätzungsformel nach dem Cox-Ross-Rubinstein-Modell liefert da bessere Ergebnisse.
3. Im Black-Scholes-Modell ist die Volatilität σ konstant. Marktpreise von Optionen zeigen aber, dass die (implizite) Volatilität gerade eben nicht konstant ist, es ist ein Volatility-Smile zu beobachten. Das liegt daran, dass die sogenannten "Marktpreise" ja auch unter Zuhilfenahme des Black-Scholes-Modells "errechnet" werden. Das Modell geht (mit Ln^*) wenig realistisch davon aus, dass der künftige, unterstellte Kurs um den Basiswert streuen würde. Die empirische Erfahrung, die auch von vielen Autoren beobachtet und geteilt wird, zeigt jedoch, dass Kurse eher um den letzten Wert („bester Schätzer“) streuen.

Herleitung des Black-Scholes-Modells

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Idee

Ausgangspunkt des Black-Scholes-Modells ist das Binomialmodell zur Optionspreisbewertung. Kernidee ist, dass die Handelsintervalle immer kürzer werden ($\backslash Delta\; t~\; \backslash to~\; 0$). u(\Delta t) und d(\Delta t) nehmen kontrolliert ab. Die Aktienkursrenditen im diskreten Modell seien binomialverteilt. Sie konvergieren gegen Normalverteilung. Die Aktienkurse sind hingegen in jedem Zeitpunkt logarithmisch normalverteilt. In der Regel ist eine Schrittzahl von 100 ausreichend mit der Einschränkung exotischer Optionen oder Optionssensitivitäten.

Binominalbaum

Betrachten wir dazu einen Binomialbaum einer Option mit der Laufzeit T. Die Anzahl der möglichen Aktienkurse am Fälligkeitstermin beträgt dann $n+1=\; \backslash frac\{T\}\{\backslash Delta\; t\}+1$. Beispiel. Ein Zeitintervall sei eine Stunde. Bei 150 Handelstagen erhalten wir dann 1200 Zeitpunkte. Der Baum sei rekombinierend, d.h. ein Aufeinanderfolen von up und down Bewegungen führt zum Aktienkurs vor beiden Bewegungen zurück (und vice versa).

$u(\backslash Delta\; t)=e^\{\backslash sigma\; \backslash sqrt\{\backslash Delta\; t\}\}\; \backslash$

und $d(\backslash Delta\; t)=\backslash frac\{1\}\{u(\backslash Delta\; t)\}\; \backslash$.

$\backslash sigma\; \backslash$ sei die Volatilität der Rendite (per annum)

$p(u(\backslash Delta\; t))>0\; \backslash$

risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten (u,r,t)

$u(\backslash Delta\; t)\; >\; 1+r(\backslash Delta\; t)\; >\; d(\backslash Delta\; t)$ Dies ist eine No-Arbitrage-Bedingung, wobei r der risikolose Zins ist.

daraus folgt ein $P(u(\backslash Delta\; t))\; =\; \backslash frac\{u(\backslash Delta\; t)\; -\; e^\{r*\backslash Delta\; t\}\}\{u(\backslash Delta\; t)\; -\; d(\backslash Delta\; t)\}$

Es kann gezeigt werden, dass $p(u(delta\; t))$ gegen 1/2 strebt wenn $\backslash Delta\; t$ gegen 0 geht.

Zentraler Grenzwertsatz

Die Binomialverteilung der Renditen über die Frist T konvergiert gegen eine Normalverteilung.

Dies lässt sich aus dem Gauß'chen Fehlerfortpflanzungsgesetz ableiten. (Eine Binomialverteilung geht bei endloser Wiederholung in eine Normalverteilung über. Obwohl hier keine explizite Wahrscheinlichkeitsannahme getroffen wird, liegt im Grenzübergang eine normalverteilte Rendite vor.

Herleitung der Periodenrendite

$S\_0\; e^\{y^~T\}=s\_0\; u(\backslash Delta\; t)^\{n-k\}\; *\; d(\backslash Delta\; t)^k$

(z.B. $\backslash \; k=0\; =>\; S\_0\; u(\backslash Delta\; t)^n$

y^~ sei eine zufällige Rendite per annum, die Größe ist normalverteilt mit dem Mittelwert, der dem risikolosen Zinssatz r entspricht. Die Standardabweichung der Periodenrendite sei sigma.

Dichte des Altienkurses

$S\_t^~=S\_0\; e^\{y~T\}\; >=\; 0$ !!! Der Aktienkurs kann als nicht normalverteilt sein, er nie negativ.

Bsp.

u = 1,05 und d=0,952

• • • • $S\_4=121,55\; \backslash$
    • 115,76
  • 110,25
    • 105
• 105
  • • 105
  • 100
    • 95,20

$S\_0=100\; \backslash$

• • • 105
  • 100
    • 90,20
• 95,2
  • • 95,20
  • 90,70
    • 86,38
      • $S\_4=82,27\; \backslash$

Anhand dieses Beispiels lässt sich erkennen, dass die Aufwärtsbewegungen zwar prozentual gleich groß sind (5%), aber absolut gesehen größer sind. Nach 4 Perioden haben wir, sofern der Aktienkurs sich immer 5 % nach oben bewegt einen Kurs von 121,55, bewegt er sich dagegen 4 mal nach unten, so ist der Kurs 82,27. Bei einem Kurs S_= von 100, ergibt sich eine WErtänderung von 21,55 % respektive eine Wertminderung von -17,73%.

Es lässt sich hier schließen, dass die Verteilung der Aktienkurse nicht symmetrisch ist.

Lognormalverteilung

Die Renditen sind normalverteilt, wobei gilt, dass Maximum=Median=Erwartungswert Die Aktienkurse hingegen sind lognormalverteilt mit Maximum

Eine Zufallsgröße $S\_T^~\; \backslash$ heißt logarithmisch normalverteilt, wenn der $lnS\_T^~\; \backslash$ normalverteilt ist.

$ln\; S\_T^~\; =\; ln\; S\_0\; e^\{y~\; T\}\; =\; ln\; S\_0\; +y^~\; T\; \backslash$, wobei y~ normalverteilt ist. Es handelt sich hier um die Rendite.

Beispiele einer Lognormalverteilung

$f(S\_T)\; \backslash$ Wahrscheinlichkeit, dass Aktienkurs eintritt $\backslash sigma^2\; *\; T\; \backslash$: Varianz der Rendite per annum * Laufzeit

Unterschied Variable x taucht im Exponent auf: $\backslash frac\{S\_T\}\; \{S\_0\}\; \backslash$

$ln(S\_T/S:0)\; \backslash$ folgt einer Normalverteilung mit $(\backslash mu\_T,\; \backslash sigma^2\; *\; T)\; \backslash$ wobei $\backslash mu$ risikoneutral ist

Schaubilder Lognormalverteilung

Möglichkeiten den Black-Scholes-Wert eines Calls zu berechnen

=1. Möglichkeit

=

$C\_0,e=e^\{-rT\}\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; C\_t(S\_T)\; f(S\_T)\; dS\_t$

• $e^\{-rT\}\; \backslash$ stetige Abzinsung mit $r\; \backslash$
• $C\_t(S\_T)\; \backslash$innerer Wert (wie im Ausübungsdiagramm eines Calls, in the money, wenn über dem Basispreis E)
• $f(S\_T)\; \backslash$ logarithmisch normalverteilt

$=e^\{-rT\}\; \backslash int\_E^\{\backslash infty\}(S\_T-E)\; f(S\_T)\; dS\_t$

$=e^\{-rT\}\; \backslash int\_E^\{\backslash infty\}\; S\_T\; f(S\_T)\; dS\_t\; -\; \backslash int\_E^\{\backslash infty\}\; E~\; f(S\_T)\; dS\_t)]$

• $e^\{-rT\}\; \backslash$ Diskontierung
• $S\_T\; f(S\_T)\; dS\_t\; \backslash$ Durchschnittlicher Aktienkurs für $S\_T\; >=\; E$ (positiver Effekt)
• $\backslash int\_E^\{\backslash infty\}\; E~\; f(S\_T)\; dS\_t$: E * Wahrscheinlichkeit der Ausübung
• das zweite Integral ist mit einem minus versehen, da der Basispreis zu zahlen ist.

Black-Scholes Formel für europäische Calls

$C\_0=S\_0\; N(x)\; -\; E\; e^\{rT\}*N(x-\backslash sigma\backslash sqrt\; t)$

• $N(x)\; \backslash$ ist der Wert der kumulativen Standardnormalverteilungsfunktion
• $\backslash sigma\backslash sqrt\; t$ ist die Volatilität per annum auf Zeit umgerechnet: Umrechnung der Jahresvolatitlität(=Standardabweichung der Aktienkursrendite p.a.) auf eine Periodenvolatitlität

Vergleich zur Struktur des Binomialmodells mit einer Periode

$C\_\{0,e\}=\; S\_0\; \backslash Delta\_C\; -\; B\_0\; \backslash$

• $S\_0$: aktueller Aktienkurs
• $Delta\_C$: Call Delta entspricht $N(x)\; \backslash$
• $B\_0$: anteilige Kreditaufnahme

Anteilige Kreditaufnahme ist der abgezinste Basispreis * risikoneutraler Wahscheinlichkeit der ausübung

= 2. Möglichkeit

=

Beispiel: Basispreis $E=500,\; T=1/2,\; r=0,05\; \backslash$

$u(\backslash Delta\; t)=e^\{0,2\; \backslash sqrt\; \backslash Delta\; t\}\; \backslash$ Den Daten kann entnommen werden, dass es nicht monoton konvergiert.

$E\; (1+r)^\{-T\}\; \backslash$ oder zeitstetig mit $e^\{-r~T\}\; \backslash$ abzuzinsen $(1+r)^-T=e^\{r^~\; T\}\; \backslash$

<=> $-T\; ln(1+r)=-r^~\; T,\; r~\; =\; ln\; (1+r)$

Das Element x lassen wir hier unbegründet (tedious) .x= Aktienkurs durch abgezinster Basispreis normiert mit der Volatilität.

Beispiel: $S\_0\; =\; 520,\; E=\; 500,\; T=1/2,\; r=0,09,\; \backslash sigma=\; 0,2\; \backslash$

1. $x=(\backslash frac\{ln\; 520\}\{478,91\}/0,2\; \backslash sqrt\; 0\; t\; +1/2\; 0,2\; \backslash sqrt\; 0,5)$
2. $N(x)=N(0,6526)\; =\; 0,74299\; \backslash$ ermittelt durch lineare Interpolation
3. $N(x-\backslash sigma\; \backslash sqrt\; r)=\; N(0,0526\; -\; 0,2\; \backslash sqrt\{1/2\})\; =\; N(0,511)=\; 0,69536$
4. $C\_\{0,e\}=520\; *\; 0,74299\; -\; 478,91*\; 0,69536=\; 53,34\; \backslash$

Innerer Wert ist $S\_0-E=20\; \backslash$

Damit schließt die Demonstration des Erwartungswertes bezüglich risikoadjustierter Dichten.

Anmerkungen

Verallgemeinerung, z.B. Herleitung des Werts eines europäischen Puts über Put Call Parität.

$P\_0=C\_0+E(1+r)^\{-T\}\; -\; S\_0\backslash$

$P\_0=S\_0(N(x)-1)\; -\; E(1+r)^\{-T\}\; (N(x-\backslash sigma(\backslash sqrt\; T)-1)$

Vereinfachung der Formel durch Ausnutzen von $\backslash N(x)=1-N(x)$

Weblinks

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• Nobel-Vorlesungen 1997 von Scholes und Merton
• American Mathematical Society zum 97er Wirtschaftsnobelpreis, mit weiteren Links
• Einführung in die Optionspreisbestimmung von Prof. Dr. Heinz Cremers, HfB – Business School of Finance & Management, Frankfurt am Main.
• Theorie und Online-Rechner (inkl. VAR und der Greeks) des Black-Scholes Optionsmodels von Jan-Hendrik Dörner, Goethe-Universität, Frankfurt am Main.
• Bradley University mehrseitige, informelle Darstellung mit umfangreicher Bibliographie
• Hedge Simulator: Zeigt das Ergebnis eines Delta und Delta-Gamma Hedge (Replikation) in diskreter Zeit unter einem Black-Scholes Modell.
• Online-Rechner Achtung: Web-Oberfläche gut gemacht, sehr instruktiv, aber mangelhafte Numerik

Literatur

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Originalarbeiten:

• Black, Fischer und Scholes, Myron: The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy 81 (1973), S. 637-654.
• Merton, Robert C.: Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and Management Science 4 (1973), S. 141-183.

Empirische Kritik:

• Pape, Ulrich/Merk, Andreas: Zur Angemessenheit von Optionspreisen. Ergebnisse einer empirischen Überprüfung des Black/Scholes-Modells, Working Paper Nr. 4, ESCP-EAP Europäische Wirtschaftshochschule Berlin, Dezember 2003.

Theoretische Kritik:

• Saber, Nasser (1999): Speculative Capital Volume 1 - the invisible hand of global finance. Financial Times, Prentice Hall. ISBN 0273641557
• Saber, Nasser (1999): Speculative Capital Volume 2 - The Nature of risk in capital markets. Financial Times, Prentice Hall. ISBN 027364422X

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