Biot-Savart-Gesetz

Das Biot-Savart-Gesetz beschreibt das Magnetfeld, das durch bewegte elektrische Ladungen erzeugt wird. Benannt wurde es nach den beiden französischen Mathematikern Jean Baptiste Biot und Félix Savart. Es stellt neben dem Ampèreschem Gesetz über die Kraftwirkung magnetischer Felder auf bewegte elektrische Ladungen eines der beiden Grundgesetze der Magnetostatik dar, einem Teilgebiet der Elektrodynamik.

Danach erzeugt eine Punktladung Q, die sich am Ort $\vec{r}_Q$ mit der Geschwindigkeit $\vec v$ bewegt, im SI-Einheitensystem ein Magnetfeld $\vec B(\vec r)$ nach

\vec B(\vec r)=\frac{\mu Q}{4\pi}\frac{\vec v\times(\vec r-\vec{r}_Q)}{\Vert\vec r-\vec{r}_Q\Vert^3}\;

Dabei ist μ die Permeabilität. Für elektrische Ströme, die sich durch eine Ladungsstromdichte $\vec J$ beschreiben lassen, ergibt sich das Volumenintegral

\vec B(\vec r)=\frac{\mu}{4\pi}\iiint_{V_Q}\vec J(\vec{r_Q})\times\frac{(\vec r-\vec{r}_Q)}{\Vert\vec r-\vec{r}_Q\Vert^3}\;\mathrm{d}{V_Q}

Diese Beziehung ist das magnetische Analogon zu der Formel, die in der Elektrostatik das elektrische Feld als Funktion einer Ladungsdichteverteilung beschreibt, und die daher strukturell sehr ähnlich ist. Für das Magnetfeld eines linienförmigen Leiters C, in dem der elektrische Strom I fließt, ergibt sich das Linienintegral

\vec B(\vec r)=\frac{\mu I}{4\pi}\oint_C \mathrm{d}{\vec{r}_Q}\times\frac{(\vec r-\vec{r}_Q)}{\Vert\vec r-\vec{r}_Q\Vert^3}\;

Dabei ist $d\vec{r}_Q$ ein infinitesimales Linienelement entlang des Leiters, und zwar in Richtung des elektrischen Stromes. Für eine parametrische Darstellung des Leiters $\vec{r}_Q(p)$ ist $d\vec{r}_Q$ durch

d\vec{r}_Q=\frac{d\vec{r}_Q(p)}{d p}d p

zu ersetzen.

Der Beitrag einer Ladung an einem Ort zum Magnetfeld an einem anderen Ort breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit aus. Der entsprechende Retardierungseffekt wird im Biot-Savart-Gesetz nicht berücksichtigt. Es ist daher nur für stationäre Ströme streng gültig und für Punktladungen in guter Näherung, sofern ihre Geschwindigkeit klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit ist.

Beispiel

Für das Magnetfeld eines geraden unendlich langen Leiters auf der z-Achse ergibt das obige Linienintegral

\vec B(\vec r)=\frac{\mu I}{2\pi\;\rho}\;\vec e_\phi

wobei $\rho$ der senkrechte Abstand zur z-Achse ist und $\vec e_\phi$ der Einheitsvektor bezüglich des Winkels $\phi$ der zugehörigen Zylinderkoordinaten. Das Magnetfeld bildet damit konzentrische Kreise um den Leiter und nimmt umgekehrt proportional zum Abstand vom Leiter ab.

Siehe auch: Magnetismus, Theoretische Elektrotechnik, Elektromagnetische Einheiten

Elektrodynamik Theoretische Elektrotechnik

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Beispiel