Bei einer mathematischen Funktion f ist das Bild oder die Bildmenge einer beliebigen Teilmenge der Definitionsmenge dieser Funktion die Menge der Werte aus der Zielmenge, die f auf dieser Teilmenge tatsächlich annimmt.

Insbesondere ist das Bild der gesamten Definitionsmenge von f die Menge der Werte, die f insgesamt annimmt, auch als Wertemenge bezeichnet.

Definition

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Sei f: A → B eine Funktion und M eine Teilmenge von A. Dann bezeichnet man folgende Menge als das Bild von M unter f:

$f(M)\; :=\; \backslash \{\; f(x)\; \backslash mid\; x\; \backslash in\; M\backslash \}$

Das Bild von f ist dann das Bild der Definitionsmenge unter f, also:

$\backslash operatorname\{im\}\; f\; :=\; f(A)$

(„im“ vom englischen Wort image).

Beispiele

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Für die Funktion f : Z → Z (ganze Zahlen) mit f(x) := x² gilt:

$f(\backslash \{\; 1,\; 2,\; 3\; \backslash \})\; =\; \backslash \{\; 1,\; 4,\; 9\; \backslash \}\backslash$

$f(\backslash \{\; -3,\; -2,\; -1\; \backslash \})\; =\; \backslash \{\; 1,\; 4,\; 9\; \backslash \}\backslash$

$f(\backslash \{\; -3,\; -2,\; -1,\; 1,\; 2,\; 3\; \backslash \})\; =\; \backslash \{\; 1,\; 4,\; 9\; \backslash \}\backslash$

$\backslash operatorname\{im\}\; f\; =\; \backslash \{\; 0,\; 1,\; 4,\; 9,\; 16,\; 25,\; 36,\; 49,\; ...\; \backslash \}\backslash$

Eigenschaften

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Es sei f: A → B eine Funktion und M und N seien Teilmengen von A :

• $f(\backslash varnothing)\; =\; \backslash varnothing$
• $f(M\; \backslash cup\; N)\; =\; f(M)\; \backslash cup\; f(N)$
• $f(M\; \backslash cap\; N)\; \backslash subseteq\; f(M)\; \backslash cap\; f(N)$
  Ist f injektiv, dann gilt hier ebenfalls die Gleichheit.
• $M\; \backslash subseteq\; N\; \backslash Rightarrow\; f(M)\; \backslash subseteq\; f(N)$
• f ist genau dann surjektiv, wenn $\backslash operatorname\{im\}\; f\; =\; B$.

Die Aussagen über Vereinigung und Durchschnitt lassen sich von zwei Teilmengen auf beliebige Familien von Teilmengen verallgemeinern.

Verallgemeinerung

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In der Kategorientheorie ist ein Bild eines Morphismus f: X → Y ein Unterobjekt i: im f → Y von Y, das die folgende universelle Eigenschaft hat:

Ist t: T → Y ein Morphismus aus einem Testobjekt T, so dass t über f faktorisiert, so gibt es genau einen Morphismus c: T → im f mit

$t=i\backslash circ\; c.$

Das Kobild eines Morphismus f: X → Y ist der duale Begriff: ein Kobild ist ein Quotientenobjekt p: X → coim f von X, das die folgende universelle Eigenschaft hat:

Ist t: X → T ein Morphismus in ein Testobjekt T, so dass t über f faktorisiert, so gibt es genau einen Morphismus c: coim f → T mit

$t=c\backslash circ\; p.$

In abelschen Kategorien wie den Kategorien der Vektorräume oder abelschen Gruppen stimmen Bild und Kobild überein. In den genannten Kategorien sind sie auch gleich dem mengentheoretischen Bild.

Siehe auch

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• Urbild (Mathematik)
• Homomorphiesatz

Mengenlehre | Kategorientheorie

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