Bijektivität (bijektiv oder umkehrbar eindeutig oder umkehrbar eineindeutig) ist eine Eigenschaft einer mathematischen Funktion.

Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie verschiedene Elemente ihres Definitionsbereichs auf verschiedene Elemente der Zielmenge abbildet (sie also injektiv ist), und wenn zusätzlich jedes Element der Zielmenge als Funktionswert auftritt (sie also surjektiv ist). Eine bijektive Funktion hat daher immer eine Umkehrfunktion, ist also invertierbar.

Eine bijektive Funktion nennt man auch eine Bijektion. Eine Bijektion einer endlichen Menge in sich selbst heißt auch Permutation.

Für endliche Mengen haben die Definitionsmenge, die Bildmenge und die Zielmenge einer Bijektion dieselbe Anzahl von Elementen. Umgekehrt ist eine Funktion zwischen endlichen Mengen bijektiv, wenn diese drei Zahlen übereinstimmen.

Für unendliche Mengen definiert man die Mächtigkeit als Verallgemeinerung der Elementanzahl mit Hilfe des Begriffes der Bijektion.

Definition

Sei $f$ eine Funktion von $X$ nach $Y$, also $f\; :\; X\; \backslash to\; Y$

$f$ ist bijektiv, wenn für alle $y\; \backslash in\; Y$ genau ein $x\; \backslash in\; X$ mit $f(x)\; =\; y$ existiert.
(genau eins bedeutet eins und nur eins)

Mit anderen Worten kann man diese Bedingung so ausdrücken:

$f$ ist bijektiv, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist.

Darstellungsformen

Bijektivität_Mengenkasten_01.png | Bijektivität_Mengenkasten_02.png | Bijektivität_Mengenwolke.png

Beispiele und Gegenbeispiele

Die Menge der reellen Zahlen wird hier mit $\backslash mathbb\{R\}$ bezeichnet.

• Die Funktion $f:\; \backslash R\backslash to\backslash R,\; x\backslash mapsto\; x+a$ ist bijektiv mit der Umkehrfunktion $f^\{-1\}:\; \backslash R\backslash to\backslash R,\; x\backslash mapsto\; x-a$.
• Ebenso ist für $a\backslash ne\; 0$ die Funktion $g:\; \backslash R\backslash to\backslash R,\; x\backslash mapsto\; ax$ bijektiv mit der Umkehrfunktion $g^\{-1\}:\; \backslash R\backslash to\backslash R,\; x\backslash mapsto\; x/a$.
• Unmathematisches Beispiel: Ordnet man jedem (monogam) verheirateten Menschen seinen Ehepartner bzw. seine Ehepartnerin zu, ist dies eine Bijektion der Menge aller verheirateten Menschen auf sich selbst.

• $S$ bezeichne das reelle Intervall $[0,\; \backslash infty)$ und $f\_1$, $f\_2$, $f\_3$, $f\_4$ seien die folgenden Quadratfunktionen:

$f\_1:\backslash mathbb\{R\}\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}\backslash \; ,\; \backslash \; x\; \backslash mapsto\; x^2$

$f\_2:\; S\; \backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}\backslash \; ,\; \backslash \; x\; \backslash mapsto\; x^2$

$f\_3:\backslash mathbb\{R\}\backslash rightarrow\; S\backslash \; ,\; \backslash \; x\; \backslash mapsto\; x^2$

$f\_4:\; S\; \backslash rightarrow\; S\backslash \; ,\; \backslash \; x\; \backslash mapsto\; x^2$

Dann ist

$f\_1$ nicht injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv

$f\_2$ injektiv, nicht surjektiv, nicht bijektiv

$f\_3$ nicht injektiv, surjektiv, nicht bijektiv

$f\_4$ injektiv, surjektiv, bijektiv

Eigenschaften

• Sind A und B endliche Mengen mit gleich vielen Elementen und ist f : A → B eine Funktion, dann gilt:
  ist f injektiv, dann ist f bereits bijektiv,
  ist f surjektiv, dann ist f bereits bijektiv.

• Insbesondere gilt also für Funktionen f : A → A von einer endlichen Menge A in sich selbst:
  f ist injektiv ⇔ f ist surjektiv ⇔ f ist bijektiv.
  Für unendliche Mengen ist das im Allgemeinen falsch. Diese können injektiv auf echte Teilmengen abgebildet werden, ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen Menge auf sich selbst, die keine Bijektionen sind.
  Solche Überraschungen werden im Artikel Hilberts Hotel detaillierter beschrieben, siehe dazu auch Dedekind-Unendlichkeit.

• Sind die Funktionen f : A → B und g : B → C bijektiv, dann gilt dies auch für die Verkettung g o f : A → C. Die Umkehrfunktion von g o f ist dann f ^-1 o g ^-1.

• Ist g o f bijektiv, dann ist f injektiv und g surjektiv.

• Ist f : A → B eine Funktion und gibt es eine Funktion g : B → A, die die beiden Gleichungen
    g o f = id_A
    f o g = id_B
  erfüllt, dann ist f bijektiv, und g ist die Umkehrfunktion von f, also g = f ^-1.
  (Dabei sind id_A und id_B die jeweiligen Identitäten auf den Mengen A und B.)

• Die Bijektionen einer Menge A in sich selbst bilden, zusammen mit der Verkettung als Verknüpfung, eine Gruppe.

Siehe auch

• Injektivität
• Surjektivität
• Permutation
• Umkehrfunktion
• Isomorphismus

Mengenlehre

Биекция | Bijekce | Bijektiv | Bijection | Función biyectiva | Bijektio | Bijection | התאמה על | Bijektio | Corrispondenza biunivoca | 全単射 | Bijectie | Bijeksjon | Bijekcja | Биекция | bijektivna preslikava | Bijektiv | Бієкція | 单射、双射与满射