Unter einer Bewegungsgleichung versteht man eine mathematische Gleichung (oder auch ein Gleichungssystem), welche die räumliche und zeitliche Entwicklung eines physikalischen Systems unter Einwirkung äußerer Einflüsse vollständig beschreibt. In der Regel handelt es sich um Differentialgleichungen.

Um eine gute mathematische Modellierung des zu betrachtenden physikalischen Systems zu erhalten, sind möglichst alle auf das System wirkenden Kräfte zu berücksichtigen. Dies gestaltet sich in der Praxis oftmals sehr aufwändig, so dass man häufig zur Verwendung geeigneter Näherungsverfahren gezwungen ist.

Aufstellen von Bewegungsgleichungen

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Zum Aufstellen von Bewegungsgleichungen in der klassischen Physik wird

• das 2. Newtonsche Gesetz, oder
• der Lagrange-Formalismus oder
• der Hamilton-Formalismus verwendet. Darauf basierend ergibt sich die Bewegungsgleichung der Quantenmechanik, die Schrödingergleichung

Lösung der Bewegungsgleichung

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Die Lösung der Bewegungsgleichung wird als "Bahngleichung" bezeichnet. Die Bahngleichung beschreibt die Trajektorie, die das System zurücklegt. Sie ist, abgesehen von einigen einfachen Fällen (siehe Beispiele unten), meist nicht in analytisch geschlossener Form darstellbar und muss über numerische Methoden gewonnen werden. Dies ist bereits zur Ermittlung der Bahngleichungen dreier Himmelskörper, die sich gegenseitig gravitativ anziehen,erforderlich (siehe Dreikörperproblem).

Beispiele

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Eine allgemeine Form der Bewegungsgleichung in der klassischen Physik lautet beispielsweise

$m\; \backslash cdot\; \backslash frac\{d^2\; \backslash vec\; r(t)\}\{dt^2\}\; =\; \backslash sum\_i\; \backslash vec\; F\_i(\backslash vec\; r,t)$.

Auf der linken Seite steht der Trägheitsterm für das Teilchen der Masse $m$, auf der rechten Seite werden alle auf das Teilchen wirkenden Kräfte $\backslash vec\; F\_i(\backslash vec\; r,t)$ aufsummiert.

Bewegungsgleichung eines freien Masseteilchens

Die Bewegungsgleichung für dieses triviale Beispiel lautet

$$

m \cdot \frac{d^2 \vec r(t)}{dt^2} = \vec F = 0

mit:

• $\backslash vec\; F$: Kraft auf Teilchen (= 0),
• $m$: Masse des Teilchens, und
• $\backslash vec\; r(t)$: (zeitabhängiger) Ort des Teilchens

Die Lösung (Bahngleichung) erhält man durch zweimaliges Integrieren der Differentialgleichung:

$$

\vec r(t) = \vec v_0 \cdot t + \vec r_0

mit den Integrationskonstanten:

• $\backslash vec\; v\_0$: Geschwindigkeit des Teilchens zu $t=0$,
• $\backslash vec\; r\_0$: Ort des Teilchens zu $t=0$

Das Teilchen bewegt sich also geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Die Masse $m$ spielt keine Rolle.

Bewegungsgleichung eines Teilchens unter Einfluss einer konstanten Kraft

Ein Teilchen der Masse $m$ sei der Schwerkraft $\backslash vec\; g$ ausgesetzt:

$$

m \cdot \frac{d^2 \vec r(t)}{dt^2} = m \cdot \vec g .

Die Bahngleichung lautet

$$

\vec r(t) = \frac {1} {2} \cdot \vec g \cdot t^2 + \vec v_0 \cdot t + \vec r_0

und stellt den ballistischen Parabelwurf dar. Für $\backslash vec\; v\_0\; =\; 0$ erhält man den freien Fall.

Coil_spring_animation.gif

Bewegungsgleichung eines Federschwingers

Ein Teilchen der Masse $m$ sei an einer Feder (Federkonstante $D$) befestigt. Es sei anfänglich um $x\_0$ von der Ruhelage ausgelenkt und wird zum Zeitpunkt $t=0$ losgelassen:

$$

m \cdot \frac{d^2 x(t)}{dt^2} = -D \cdot x(t) .

Unter den gegebenen Randbedingungen wird die Bewegungsgleichung gelöst durch:

$$

x(t) = x_0 \cdot \cos (\omega t)

mit

$\backslash omega\; =\; \backslash sqrt\{D/m\}$: Kreisfrequenz der Schwingung. Es handelt sich um eine ungedämpfte harmonische Schwingung.

inf-QW-1.png

Quantenmechanisches Kastenpotential

In der Quantenmechanik tritt die Schrödingergleichung als Bewegungsgleichung auf.

Für das einfache Problem des Teilchens im eindimensionalen Kastenpotential der Länge $L$ mit unendlich hohen Wänden lautet die zeitunabhängige Schrödingergleichung:

$$

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)+V(x)\psi(x) = E \psi(x)

mit

• $\backslash psi(x)$: Wellenfunktion des Teilchens
• $V(x)$: Kastenpotential $=$

\begin{cases} 0, & \mbox{wenn }0 < x < L \\ \infty, & \mbox{sonst } \end{cases} .

Die Energieeigenwerte $E\_n$ sowie die zugehörigen Eigenfunktionen $\backslash psi\_\{n\}(x)$, $n=1,2,3,...,\backslash infty$, lauten:

• $E\_\{n\}\; =\; \backslash frac\{\backslash hbar^2\; \backslash pi^2\}\{2mL^2\}\; \backslash cdot\; n^2$
• $\backslash psi\_\{n\}\; =\; \backslash sqrt\{2/L\}\; \backslash cdot\; \backslash sin(n\; \backslash frac\; \{\backslash pi\}\{L\}\; \backslash cdot\; x)$

Mechanik

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