Das Beugungsintegral ermöglicht es in der Optik die Beugung von Licht durch eine beliebig geformte Blende zu berechnen. Speziell wird dabei, ausgehend von einer einfallenden Elementarwelle und der Blendenfunktion, die die Lichtdurchlässigkeit der Blende beschreibt, die an einem Punkt des Beobachtungsschirms auftreffende Intensität des Lichtes berechnet.

Zwei Grenzfälle des Beugungsintegrals sind die Näherungen für das Fernfeld (Fraunhofer-Beugung) und für das Nahfeld (Fresnel-Beugung). Siehe dazu die entsprechenden Teilabschnitte.

Die obige Skizze zeigt die experimentelle Anordnung, bestehend aus einer Lichtquelle Q, einer Blende, an der das einfallende Licht gebeugt wird, und einem Beobachtungsschirm, auf dem die auftreffende Lichtintensität untersucht wird. Die Form und die Eigenschaften der Blende bestimmen dabei, wie die Intensitätsverteilung auf dem Beobachtungsschirm aussieht.

Hat die Blende z. B. die Form eines Doppelspalts, so ergibt sich als Intensitätsverteilung das bekannte Interferenzmuster. Weitere Anwendungen des Beugungsintegrals sind z.B. Beugungsscheibchen und Klotoide.

Das Kirchhoffsche Beugungsintegral

Das Kirchhoffsche Beugungsintegral, auch Fresnel-Kirchhoffsches Beugungsintegral genannt, lautet:

$\backslash psi\_P=\{a\_Q\backslash ,k\_0\backslash over\; 2\backslash pi\backslash ,i\}\backslash int\_\{Blende\}dS\backslash ,f\_S\backslash ,\{e^\{i\backslash ,k\_0(d+d\_1)\}\backslash over\; d\backslash cdot\; d\_1\}\backslash left2\}\backslash right$.

Dabei bezeichnen $a\_Q$ die Amplitude der Quelle, $k\_0=2\backslash pi/\backslash lambda$ den Wellenvektor, $\backslash lambda$ entsprechend die Wellenlänge des Lichtes und schließlich $f\_S$ die Blendenfunktion.

Die Intensität am Punkt P auf dem Beobachtungsschirm ergibt sich als Betragsquadrat von $\backslash psi\_P$:

$I(P)=|\; \backslash psi\_P\; |^2=\{a\_Q^2\backslash ,k\_0^2\backslash over\; 4\backslash pi^2\; \}\backslash left|\backslash int\_\{Blende\}dS\backslash ,f\_S\backslash ,\{e^\{i\backslash ,k\_0(d+d\_1)\}\backslash over\; d\backslash cdot\; d\_1\}\backslash left2\}\backslash right\backslash right|^2$.

Der Term $(\backslash cos\backslash theta+\backslash cos\backslash tilde\{\backslash theta\})/\; 2$ wird Neigungsfaktor genannt und kann in den meisten Anwendungen näherungsweise gleich 1 gesetzt werden.

Fraunhofer- und Fresnel-Beugung

Für die Lichtwege $d$ und $d\_1$ gelten die folgenden geometrischen Zusammenhänge (siehe Skizze):

$d=\backslash sqrt\{L^2+|\backslash vec\{r\}-\backslash vec\{p\}|^2\}$ und

$d\_1=\backslash sqrt\{L\_1^2+r^2\}$.

Unter den Annahmen $L\_1\backslash gg|\backslash vec\{r\}|=\backslash sqrt\{x^2+y^2\}$ und $L\backslash gg|\backslash vec\{p\}|=\backslash sqrt\{x\text{'}^2+y\text{'}^2\}$ können die Wurzeln durch eine Taylor-Entwicklung angenähert werden.

Diese Näherung entspricht gerade dem Fall, dass $\backslash theta\backslash approx\backslash tilde\{\backslash theta\}\backslash approx\; 0$, d.h. für diese Betrachtungen kann der Neigungsfaktor näherungsweise gleich 1 gesetzt werden. Damit lautet das Beugungsintegral:

$\backslash psi\_P=\{a\_Q\backslash ,k\_0\backslash over\; 2\backslash pi\backslash ,i\}\backslash int\_\{Blende\}dS\backslash ,f\_S\backslash ,\{e^\{i\backslash ,k\_0(d+d\_1)\}\backslash over\; d\backslash cdot\; d\_1\}$.

Ferner kann wegen der Näherung im Nenner $d\backslash cdot\; d\_1\backslash approx\; L\_1\backslash ,L$ gesetzt werden. Der Exponent enthält die für die Interferenz wesentliche Phaseninformation und darf nicht auf diese Weise vereinfacht werden. Daraus folgt:

$\backslash psi\_P=\{a\_Q\backslash ,k\_0\backslash over\; 2\backslash pi\backslash ,i\}\{1\backslash over\; L\_1\backslash ,L\}\; \backslash int\_\{Blende\}dS\backslash ,f\_S\backslash ,e^\{i\backslash ,k\_0(d+d\_1)\}$.

Die Näherung für die Ausdrücke $d$ und $d\_1$, explizit ausgeführt bis zur 2. Ordnung, ergibt:

$d=\backslash sqrt\{L^2+|\backslash vec\{r\}-\backslash vec\{p\}|^2\}\backslash approx\; L\backslash left(\; 1+\{|\backslash vec\{r\}-\backslash vec\{p\}|^2\backslash over\; 2L^2\}+...\; \backslash right)=\; L\backslash left(\; 1+\{r^2+p^2-2\backslash vec\{r\}\backslash cdot\backslash vec\{p\}\backslash over\; 2L^2\}+...\; \backslash right)$ sowie

$d\_1=\backslash sqrt\{L\_1^2+r^2\}\backslash approx\; L\_1\backslash left(\; 1+\{r^2\backslash over\; 2\; L\_1^2\}+...\; \backslash right)$

Ausgedrückt durch die Koordinaten $(x,\backslash ,y)$ und $(x\text{'},\backslash ,y\text{'})$ ergibt das:

$d\backslash approx\; L\backslash left(\; 1+\{x^2+y^2+x\text{'}^2+y\text{'}^2-2(x\backslash ,x\text{'}+y\backslash ,y\text{'})\backslash over\; 2L^2\}+...\; \backslash right)$ und

$d\_1\backslash approx\; L\_1\backslash left(\; 1+\{x^2+y^2\backslash over\; 2\; L\_1^2\}+...\; \backslash right)$

Fraunhofer-Näherung

Die Fraunhofer-Näherung entspricht einer Fernfeld-Näherung, das heißt dass sowohl die Blendenöffnung als klein, wie auch die Entfernung des Beobachtungsschirms $L$ als groß angenommen werden. Als Beugungsintegral ergibt sich dabei im Wesentlichen gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion! Deshalb spricht man im Rahmen der Fraunhofer-Beugung gelegentlich auch von der Fourier-Optik.

Entsprechend dieser Annahmen werden nur Terme berücksichtigt, die linear in $x$ und $y$ sind, das heißt:

$d\backslash approx\; L\backslash left(\; 1+\{x\text{'}^2+y\text{'}^2-2(x\backslash ,x\text{'}+y\backslash ,y\text{'})\backslash over\; 2L^2\}\; \backslash right)=\; L\backslash left(\; 1+\{p^2-2(x\backslash ,x\text{'}+y\backslash ,y\text{'})\backslash over\; 2L^2\}\; \backslash right)$

$d\_1\backslash approx\; L\_1$

In diesem Fall vereinfacht sich das Beugungsintegral zu:

$\backslash psi\_P\backslash approx\{a\_Q\backslash ,k\_0\backslash over\; 2\backslash pi\backslash ,i\}\{e^\{i\backslash ,k\_0(L\_1+L+\{p^2\backslash over\; 2L\})\}\backslash over\; L\_1\backslash ,L\}\backslash int\backslash int\_\{Blende\}dx\backslash ,dy\backslash ,f\_S(x,y)\backslash ,e^\{-i\backslash ,k\_0\{(x\backslash ,x\text{'}+y\backslash ,y\text{'})\backslash over\; L\}\}$.

Definiert man einen neuen Wellenvektor $\backslash vec\{K\}=\; \{k\_0\backslash over\; L\}\backslash vec\{p\}$ so ergibt sich für das Integral:

$\backslash int\backslash int\_\{Blende\}dx\backslash ,dy\backslash ,f\_S(x,y)\backslash ,e^\{-i\backslash ,k\_0\{(x\backslash ,x\text{'}+y\backslash ,y\text{'})\backslash over\; L\}\}\; =\backslash int\backslash int\_\{Blende\}dx\backslash ,dy\backslash ,f\_S(x,y)\backslash ,e^\{-i\backslash ,\{k\_0\backslash over\; L\}\backslash vec\{p\}\backslash cdot\backslash vec\{r\}\}$ $=\backslash int\backslash int\_\{Blende\}dx\backslash ,dy\backslash ,f\_S(x,y)\backslash ,e^\{-i\backslash ,\backslash vec\{K\}\backslash cdot\backslash vec\{r\}\}$

Dies ist gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion $f\_S\backslash ,(x,y)$!

Fresnel-Näherung

Die Fresnel-Näherung entspricht einer Nahfeld-Näherung. Hier werden auch quadratische Terme im Exponenten berücksichtigt. Das Beugungsintegral hat dann nicht mehr die einfache Form einer Fourier-Transformierten und ist i.A. nur numerisch lösbar. Unter Berücksichtigung quadratischer Terme in $x$ und $y$ ergibt sich:

$d\backslash approx\; L\backslash left(\; 1+\{x^2+y^2+x\text{'}^2+y\text{'}^2-2(x\backslash ,x\text{'}+y\backslash ,y\text{'})\backslash over\; 2L^2\}+...\; \backslash right)$

$d\_1\backslash approx\; L\_1\backslash left(\; 1+\{x^2+y^2\backslash over\; 2\; L\_1^2\}+...\; \backslash right)$

In diesem Fall lautet das Beugungsintegral:

$\backslash psi\_P=\{a\_Q\backslash ,k\_0\backslash over\; 2\backslash pi\backslash ,i\}\{\; e^\{\; i\backslash ,k\_0(L+L\_1+\{p^2\backslash over\; 2L\})\}\; \backslash over\; L\backslash ,L\_1\}\; \backslash int\backslash int\_\{Blende\}dx\backslash ,dy\backslash ,f\_S(x,y)\backslash ,e^\{i\backslash ,k\_0(\{x^2+y^2-2(x\backslash ,x\text{'}+y\backslash ,y\text{'})\backslash over\; 2L\}+\{x^2+y^2\backslash over\; 2\; L\_1\})\}$.

Einführung von $L\text{'}$ mit $\{1\backslash over\; L\text{'}\}=\{1\backslash over\; L\}+\{1\backslash over\; L\_1\}$ und $\backslash vec\{K\}=\; \{k\_0\backslash over\; L\}\backslash vec\{p\}$ ergibt dann das Beugungsintegral in Nahfeld-Näherung:

$\backslash psi\_P=\{a\_Q\backslash ,k\_0\backslash over\; 2\backslash pi\backslash ,i\}\{\; e^\{\; i\backslash ,k\_0(L+L\_1+\{p^2\backslash over\; 2L\})\}\; \backslash over\; L\backslash ,L\_1\}\; \backslash int\backslash int\_\{Blende\}dx\backslash ,dy\backslash ,f\_S(x,y)\backslash ,e^\{i\backslash ,k\_0\{x^2+y^2\backslash over\; 2L\text{'}\}\}e^\{-i\backslash ,\backslash vec\{K\}\backslash cdot\backslash vec\{r\}\}$.

Herleitung des Beugungsintegrals durch Proportionalitätsbetrachtungen

Aus der Quelle Q bei $\backslash vec\{r\}\_Q$ tritt die Kugelwelle $\backslash psi\_Q$

$\backslash psi\_Q(\backslash vec\{r\},t)=a\_Q\backslash ,\; \{e^\{i(k\backslash ,|\backslash vec\{r\}|-\backslash omega\backslash ,t)\}\backslash over\; |\backslash vec\{r\}|\}$

Am Punkt S bei $\backslash vec\{r\}\_S$ trifft die anfängliche Welle $\backslash psi\_Q$ mit der (zeitabhängigen) Intensität $\backslash psi\_1$ auf der Blende auf:

$\backslash psi\_1(t)=\backslash psi\_Q(d\_1,t)=a\_Q\backslash ,\{e^\{i(k\backslash ,d\_1-\backslash omega\backslash ,t)\}\backslash over\; d\_1\}=\; a\_Q\backslash ,\{e^\{i\backslash ,k\backslash ,d\_1\}\backslash over\; d\_1\}e^\{-i\backslash ,\backslash omega\backslash ,t\}$.

Nach dem Huygensschen Prinzip ist der Punkt S Ausgangspunkt einer Elementarwelle, der Sekundärwelle $\backslash psi\_S$. Diese Sekundärwelle $\backslash psi\_S$ hat dann die (zeitabhängige) Amplitude $a\_S$:

$a\_S(t)\backslash sim\; f\_S\backslash ,\backslash psi\_1(t)\backslash ,dS$.

Dabei stellt das infinitesimale Flächenelement dS die Fläche der Blendenöffnung am Punkt S dar (später muss über alle möglichen Punkte S der Blende aufsummiert werden). $f\_S$ ist dabei die Blendenfunktion, die die Durchlässigkeit der Blende beschreibt. Im einfachsten Fall gilt $f\_S=1$, wenn die Blende geöffnet ist, und $f\_S=0$, wenn die Blende geschlossen ist.

Die vom Punkt S ausgehende Sekundärwelle $\backslash psi\_S$ ist eine Kugelwelle (analog zur ersten Gleichung) und erzeugt im Punkt P bei $\backslash vec\{r\}\_P$ auf dem Beobachtungsschirm die Wellenintensität $d\backslash psi\_P$:

$d\backslash psi\_P(t)\backslash sim\; a\_S(t)\backslash ,\{e^\{i\backslash ,k\backslash ,d\}\backslash over\; d\}=f\_S\backslash ,\backslash psi\_1(t)\backslash ,\{e^\{i\backslash ,k\backslash ,d\}\backslash over\; d\}dS$.

Einsetzung für $\backslash psi\_1$ unter Vernachlässigung der für die Intensitätsverteilung irrelevanten (weil sich im Betragsquadrat weghebenden) Zeitabhängigkeit $e^\{-i\backslash ,\backslash omega\backslash ,t\}$ ergibt:

$d\backslash psi\_P\backslash sim\; a\_Q\backslash ,f\_S\backslash ,\{e^\{i\backslash ,k(d+d\_1)\}\backslash over\; d\backslash cdot\; d\_1\}dS$.

Da jedoch nicht nur die Elementarwelle vom Punkt S eine Intensität im Beobachtunspunkt P erzeugt, müssen die Beiträge aller Blendenpunkte aufsummiert werden:

$\backslash psi\_P\backslash sim\; a\_Q\backslash int\_\{Blende\}dS\backslash ,f\_S\backslash ,\{e^\{i\backslash ,k(d+d\_1)\}\backslash over\; d\backslash cdot\; d\_1\}$

Der verbleibende Proportionalitätsfaktor ist gerade $k\_0/(2\backslash pi\backslash ,i)$.

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