Limite de Betz Das Betzsche Gesetz stammt von dem deutschen Physiker Albert Betz (1885-1968). Er formulierte es erstmals im Jahr 1919. Sieben Jahre später (1926) erschien es in seinem Buch „Wind-Energie“.

Das Gesetz besagt, dass eine Windenergieanlage maximal 16/27 (das sind knapp 60 Prozent) der im Wind enthaltenen translatorischen Energie in rotatorische Energie umwandeln kann.

Mathematische Herleitung

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Leistungsbeiwert

Der Quotient aus genutzter Windleistung P_Nutz zu ankommender Windleistung P₀ wird Leistungsbeiwert c_P genannt.

Die Leistung des ankommenden Windes beträgt

$\backslash \; P\_0\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash cdot\; \backslash rho\; \backslash cdot\; A\; \backslash cdot\; v^3$,

genutzt werden kann aber nur

$\backslash \; P\_\{Nutz\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash cdot\; \backslash rho\; \backslash cdot\; A\; \backslash cdot\; v^3\backslash cdot\; \backslash left\{1\; \backslash over\; 2\}\backslash cdot\; \backslash left(\; 1+\; \backslash frac\{v\_2\}\{v\_1\}\; \backslash right)\backslash cdot\; \backslash left(\; 1-\; \backslash left(\backslash frac\{v\_2\}\{v\_1\}\backslash right)^2\; \backslash right)\; \backslash right$,

wobei v=v₁ die Windgeschwindigkeit weit vor dem Rotor und v₂ die Windgeschwindigkeit weit hinter dem Rotor ist. Daraus ergibt sich als Verhältnis der Leistungsbeiwert c_P zu:

$$

c_P = \frac{P_{Nutz}}{P_0} = {1 \over 2}\cdot \left( 1+ \frac{v_2}{v_1} \right)\cdot \left( 1- \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 \right) Führt man die dimensionslose Abbremsung $x\; =\; \backslash frac\{v\_2\}\{v\_1\}$ ein, so erhält man als Leistungsbeiwert:

$$

c_P = {1 \over 2}\cdot \left( 1+ x\right)\cdot \left( 1- x^2 \right)

Der Leistungsbeiwert ist also ausschließlich eine Funktion der Abbremsung. Wie diese Abbremsung vorgenommen wird, geht in die Berechnung nicht ein. In der Praxis lassen sich hohe Leistungsbeiwerte jedoch ausschließlich mit Auftriebsläufern erreichen.

Betzscher Leistungsbeiwert

Wenn der Windströmung (kinetische) Energie entnommen wird, verlangsamt sich der Wind. Würde die Energie vollständig entnommen, dann kämen die Luftmassen hinter der Anlage zum Stillstand und würden sich vor ihr aufstauen und ausweichen, sodass der Massenstrom durch die Anlage und die Leistung Null wäre. (Aus diesem Grund verliert das Betzsche Gesetz für kleine Geschwindigkeitsverhältnisse v₂/v₁ seine Gültigkeit, denn bei Ableitung des Gesetzes wird davon ausgegangen, dass die Windgeschwindigkeit in der Rotorebene (v₁+v₂)/2 ist.) Würde der Wind dagegen gar nicht abgebremst, so nähme der Massenstrom zwar nicht ab, aber es würde auch keine Energie entnommen, und die Leistung wäre wiederum Null. Der Idealfall liegt also irgendwo dazwischen.

Betzsche_Leistungskurve.PNG

Die Herleitung erfolgt mithilfe der Differentialrechnung; wo die Funktion ihr Maximum hat, muss die Ableitung der Funktion eine Nullstelle haben.

Die Ableitung hat bei $x\; =\; \backslash frac\{1\}\{3\}$ eine Nullstelle;

eingesetzt ergibt sich $c\_\{P,Betz\}\; =\; c\_\{P,max\}\; =\; c\_P\; \backslash left(\; x=\backslash frac\{1\}\{3\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{16\}\{27\}\; \backslash approx\; 0\{,\}593$.

Die größte Leistung lässt sich also entziehen, wenn der Wind auf 1/3 seiner ursprünglichen Geschwindigkeit abgebremst wird.

Ausgeführte Rotoren

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Da die Rotorverluste die mit Abstand größten Verluste einer Windenergieanlage sind, arbeiten alle Hersteller daran, möglichst hohe Leistungsbeiwerte zu erreichen. Moderne ausgeführte Rotoren erreichen Leistungsbeiwerte von c_P = 0,4 bis 0,5, das sind also etwa 70 % bis 80 % des theoretisch Möglichen.

Literatur

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• Albert Betz: Windenergie und ihre Ausnutzung durch Windmühlen, Ökobuch, Staufen, unveränderter Nachdruck aus dem Jahre 1926, ISBN 3-922964-11-7

Weblinks

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• Herleitung des Betzschen Gesetzs

Windenergie