Zufallsgrößen mit einer Null-Eins-Verteilung bzw. Bernoulli-Verteilung benutzt man zur Beschreibung von zufälligen Ereignissen, bei denen nur zwei mögliche Versuchsausgänge interessieren, das zufällige Ereignis (Erfolg) und sein komplementäres Ereignis (Mißerfolg). Beispiele hierfür sind:

• Werfen einer Münze (Wappen $p=1/2$, Zahl $q=1/2$)
• Werfen eines Würfels, wobei nur eine „6“ als Erfolg gewertet wird: $p=1/6$, $q=5/6$.
• Qualitätsprüfung (ok, nicht ok)
• Anlagenprüfung (funktioniert, funktioniert nicht)

Definition

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Eine diskrete Zufallsgröße $X$ unterliegt der Null-Eins-Verteilung bzw. Bernoulli-Verteilung mit dem Parameter $p$, wenn sie die folgenden Einzelwahrscheinlichkeiten besitzt.

$\backslash operatorname\{P\}(X=1)=p$ und $\backslash operatorname\{P\}(X=0)=1-p$.

Letzteres kann man auch durch den geschlossenen Ausdruck

$\backslash operatorname\{P\}(X)\; =\; p^X\; \backslash cdot\; q^\{1-X\}$

ersetzen, denn es ist

$\backslash operatorname\{P\}(0)\; =\; p^0\; \backslash cdot\; q^\{1-0\}\; =\; q$   und   $\backslash operatorname\{P\}(1)\; =\; p^1\; \backslash cdot\; q^\{1-1\}\; =\; p$

Eine Wiederholung von vielen identischen Versuchen, bei denen jeder Einzelversuch der Bernoulli-Verteilung genügt, wird Bernoullisches Versuchsschema oder Bernoulli-Prozess genannt.

Eigenschaften

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Erwartungswert

Die Bernoulli-Verteilung mit Parameter $p$ hat den Erwartungswert:

$\backslash operatorname\{E\}(X)=p$

Varianz

Die Bernoulli-Verteilung besitzt die Varianz:

$\backslash operatorname\{Var\}(X)\; =\; p(1-p)=\; pq$, denn: $\backslash operatorname\{E\}(X^2)-\backslash operatorname\{E\}(X)^2=p-p^2\; =\; p\backslash cdot(1-p)\; =\; pq$.

Verteilungsfunktion

Die Bernoulli-Verteilung besitzt die Verteilungsfunktion:

=\begin{cases} 0, & \mbox{wenn }t<0 \\ 1-p, & \mbox{wenn }0

Beziehung zu anderen Verteilungen

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Beziehung zur Binomialverteilung

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung für $n=1$. Mit anderen Worten, die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen genügt der BinomialVerteilung.

Beziehung zur Poisson-Verteilung

Die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen genügt für $n\backslash to\backslash infty$, $p\_\{n\}\backslash to\; 0$ und $\backslash lim\backslash limits\_\{n\backslash to\backslash infty\}np\_\{n\}=\backslash lambda>0$ einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter $\backslash lambda$.

Wahrscheinlichkeitsverteilung