Das Bayestheorem (auch Satz von Bayes) ist ein Ergebnis der Wahrscheinlichkeitstheorie, benannt nach dem Mathematiker Thomas Bayes. Es gibt an, wie man mit bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnet. Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ lautet es

$P(A|B)\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \backslash frac\; \{P(B|A)\; \backslash cdot\; P(A)\}\; \{P(B)\}$

Hierbei ist

$P(A)$ die A-Priori-Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $A$ und

$P(B|A)$ die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis $B$ unter der Bedingung, dass $A$ auftritt und

$P(B)$ ...

Der Satz folgt unmittelbar aus der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

$P(A|B)\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \backslash frac\{P(A\; \backslash cap\; B)\}\{P(B)\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \backslash frac\{\backslash frac\{P(A\; \backslash cap\; B)\}\{P(A)\}\; \backslash cdot\; P(A)\}\{P(B)\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \backslash frac\; \{P(B|A)\; \backslash cdot\; P(A)\}\; \{P(B)\}$

Bei endlich vielen Ereignissen ergibt sich das Bayessche Theorem folgendermaßen: Wenn $A\_i,\; i\; =\; 1,\; ...,\; N$ eine Zerlegung des Ereignisraumes in disjunkte Ereignisse ist, gilt für die a-posteriori-Wahrscheinlichkeit $P(A\_i\; |\; B)$

$P(A\_i\; |\; B)\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \backslash frac\{P(B\; |\; A\_i)\; \backslash cdot\; P(A\_i)\}\{P(B)\}\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \backslash frac\{P(B\; |\; A\_i)\; \backslash cdot\; P(A\_i)\}\{\backslash sum\_\{j=1\}\; ^\{N\}\; P(B\; |\; A\_j)\; \backslash cdot\; P(A\_j)\}$

Man nennt diese Formel auch Bayesformel.

Die Beziehung

$P(B)\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \backslash sum\_\{j=1\}^N\; P(A\_j\; \backslash cap\; B)\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; \{\backslash sum\_\{j=1\}^\{N\}\; P(B\; |\; A\_j)\; \backslash cdot\; P(A\_j)\}$

wird als Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit bezeichnet.

Interpretation

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Der Satz von Bayes erlaubt in gewissem Sinn das Umkehren von Schlussfolgerungen:

Die Berechnung von $P(Ereignis|Ursache)$ ist häufig einfach, aber oft ist eigentlich $P(Ursache|Ereignis)$ gesucht, also ein Vertauschen der Argumente. Für das Verständnis können der Entscheidungsbaum und die A-Priori-Wahrscheinlichkeit helfen. Das Verfahren ist auch als Rückwärtsinduktion bekannt.

Anwendungsgebiete

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• Statistik: Alle Fragen des Lernens aus Erfahrung bei denen eine A-Priori-Wahrscheinlichkeitseinschätzung aufgrund von Erfahrungen verändert und in eine A-Posteriori-Verteilung überführt wird.
• Medizin: Von einem oder mehreren positiven medizinischen Testergebnissen (Ereignisse, Symptome einer Krankheit) wird auf das Vorhandensein einer Krankheit (Ursache) abduktiv geschlossen.
• Informatik: Bayesscher Filter - Von charakteristischen Wörtern in einer E-Mail (Ereignis), wird auf die Eigenschaft Spam (Ursache) zu sein, geschlossen.
• Künstliche Intelligenz: Hier wird das Bayes Theorem verwendet, um auch in Domänen mit "unsicherem" Wissen Schlussfolgerungen ziehen zu können. Diese sind dann nicht deduktiv und somit auch nicht immer korrekt, sondern eher abduktiver Natur, haben sich aber zur Hypothesenbildung und zum Lernen in solchen Systemen als durchaus nützlich erwiesen.
• Qualitätsmanagement: Beurteilung der Aussagekraft von Testreihen.
• Entscheidungstheorie/Informationsökonomik: Bestimmung des erwarteten Wertes von zusätzlichen Informationen.
• Grundmodell der Verkehrsverteilung
• Bioinformatik: Bestimmung funktioneller Ähnlichkeit von Sequenzen.

Rechenbeispiel

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In einem medizinischen Beispiel trete der Sachverhalt $A$, dass ein Mensch eine bestimmte Krankheit in sich trage, mit der Wahrscheinlichkeit $P(A)=0,0002$ auf (Prävalenz). Jetzt soll in einem Screening-Test ermittelt werden, welche Personen diese Krankheit haben. $B$ bezeichne die Tatsache, dass der Test bei einer Person positiv ausgefallen ist, d.h. der Test vermutet, dass die Person die Krankheit hat. Der Hersteller des Tests versichert, dass der Test eine Krankheit zu 99% erkennt (Sensitivität$=\; P(B|A)\; =\; 0,99$) und nur in 1% der Fälle falsch anschlägt, obwohl gar keine Krankheit vorliegt ($1\; -$Spezifität$=\; P(B|A^c)=0,01$, wobei $A^c$ das Komplement von $A$ bezeichnet).

Die Frage ist: Wie wahrscheinlich ist das Vorliegen der Krankheit, wenn der Test positiv ist? (Positiver prädiktiver Wert)

Wir wissen bereits, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Test positiv ist, wenn die Krankheit vorliegt (nämlich mit 99%-iger Wahrscheinlichkeit), jetzt soll das Ganze von der anderen Seite her gesehen werden.

Die Aufgabe kann entweder

• durch Einsetzen in die Formel oder
• durch einen Entscheidungsbaum (nur bei diskreten Wahrscheinlichkeiten)

gelöst werden

Lösung mit dem Satz von Bayes

Da initial P(B) unbekannt ist, muss man P(B) auf die bekannten Größen zurückführen. Dies geschieht mittels folgender Gleichungskette:

$P(B)\; =\; P(B)\; \backslash cdot\; 1$

$=\; P(B)\; \backslash cdot\; (P(A^c|B)\; +\; P(A|B))$

$=\; P(A^c|B)\; \backslash cdot\; P(B)\; +\; P(A|B)\; \backslash cdot\; P(B)$

$=\; P(B|A^c)\; \backslash cdot\; P(A^c)\; +\; P(B|A)\; \backslash cdot\; P(A)$ (Satz von Bayes)

Nach dieser Umformung kann nun der Satz von Bayes auf die gegebenen Daten angewendet werden

$P(A|B)\; =\; \backslash frac\{P(B|A)P(A)\}\{P(B|A^c)P(A^c)\; +\; P(B|A)P(A)\}\; =\backslash frac\{0,99\; \backslash cdot\; 0,0002\}\{0,01\; \backslash cdot\; 0,9998\; +\; 0,99\; \backslash cdot\; 0,0002\}\; \backslash approx\; 0,019$

Es liegt also nur zu 1,9% eine Krankheit vor d.h. der Patient hat eine Chance von 98% gesund zu sein, obwohl der Test ihn als krank einschätzte! Das ist schwer zu glauben, liegt aber daran, dass die Wahrscheinlichkeit tatsächlich erkrankt zu sein (0,02%) um das fünzigfache geringer ist als die Wahrscheinlichkeit eines falschen Testergebnisses (1%).

Lösung mit dem Entscheidungsbaum

Probleme mit wenigen Klassen und einfachen Verteilungen lassen sich übersichtlich im Entscheidungsbaum darstellen. Die "fehlenden" Angaben werden einfach eingesetzt. Das Diagramm "rechnet mit".

10 000 / \ / \ / \ 2(krank) 9 998 (gesund) /\ /\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ Test- 0 2 100 9898 ergebnis - + + - (gerundet)

Ergebnis: 2+100=102 haben ein positives Ergebnis, obwohl 100 (=falsch positiv) von ihnen gesund sind. Diese Angaben erfolgen hier in der absoluten Häufigkeit.

Verständnisprobleme des Bayes-Theorems

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Die gleichen Informationen, die vielen schwer verständlich sind, können auch ohne bedingte Wahrscheinlichkeiten aufbereitet werden, wie in absolute Häufigkeit aufgeführt. Typische Verständnisprobleme im Umgang mit bedingten Wahrscheinlichkeiten sind ^*:

1. Verwechslung von Konditionalität und Kausalität
2. Verwechslung von bedingter und konjunktiver Wahrscheinlichkeit
3. Verwechslung von bedingtem und bedingendem Ereignis
4. Schwierigkeiten bei der exakten Definition des bedingenden Ereignisses (z. B. beim "Ziegenproblem")
5. Missverstehen der Fragestellung durch mangelndes Grundverständnis für bedingte Wahrscheinlichkeiten, zu komplizierte Formulierung u. ä.

Weblinks

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• Thomas Bayes: Original-Text des Artikels "An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances" (1763)
• Rudolf Sponsel: Das Bayes'sche Theorem
• Der Bayessche Satz der Wahrscheinlichkeit
• Ian Stewart:Der Trugschluss des Ermittlers (Ein Anwendungsbeispiel aus der Kriminalistik.)
• Christoph Wassner, Stefan Krauss, Laura Martignon: Muss der Satz von Bayes schwer verständlich sein? (Ein Artikel zur Mathematikdidaktik.)
• Gerechnete Übungsbeispiele

Bedingte Wahrscheinlichkeit | Satz (Mathematik)

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