Ein Axiomensystem ist ein abstrakter Raum (siehe Raum (Mathematik)), in dem bestimmte Aussagen Gültigkeit haben. Alle gültigen Aussagen lassen sich auf Grundaussagen (Axiome) zurückführen. Die strenge, formale Ableitung (logische Schlussfolgerung) von Aussagen aus einem Axiomensystem ist ein Beweis.

Damit ein Axiomensystem gültig ist, muss es bestimmten Kriterien entsprechen; ein zentrales Kriterium ist die Widerspruchsfreiheit.

Innerhalb eines bekannten Axiomensystems lassen sich Aussagen in vier Arten klassifizieren:

• wahre Aussage: Es ist nachgewiesen, dass die Aussage anhand der Axiome wahr ist.
• falsche Aussage: Es ist nachgewiesen, dass die Aussage anhand der Axiome falsch ist.
• unentscheidbare Aussage: Es ist nachgewiesen, dass die Aussage unabhängig zu den Axiomen ist.
• unentschiedene Aussage: Es ist noch nichts obiges über die Aussage nachgewiesen.

Beispiele für Axiomensysteme:

• euklidische Geometrie
• Huntingtonsches Axiomensystem
• Mengenlehre
• Peano-Dedekindsches Axiomensystem der Arithmetik
• Wahrscheinlichkeitstheorie
• Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

Siehe auch: Axiom, Widerspruchsfreiheit, Formales System

Logik

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