Axiom

Ein Axiom ist ein als gültig anerkannter Grundsatz (insbesondere einer Theorie), der nicht bewiesen werden muss.

Ein Axiom ist keine vollständige Theorie. Es handelt sich vielmehr um eine bedingende/konditionale Voraussetzung in Form von geistigem Gedankengut für die vollständige Theorie. Es kann der Fall auftreten, dass mehrere Axiome eine Theorie ausmachen. Notwendige Bedingung ist, dass das Axiom auf einem logischem Fundament basiert.

Ausnahmen:

der Logizismus, vertreten von Gottlob Frege, der zumindest die elementare Arithmetik rein logisch zu begründen suchte.
die Protokollsatzlehre, vertreten speziell vom logischen Positivismus. Demnach können Sätze der empirischen Wissenschaften auch logisch auf Wahrnehmungserlebnisse zurückgeführt werden, deren Evidenz unmittelbar klar ist. Insbesondere Popper kritisiert diese Position aufgrund der in den wissenschaftlichen Sätzen auftretenden Universalien.

Mehrere Axiome können zu einem Axiomensystem gehören, wenn sie in keinem Widerspruch zueinander stehen. So definieren z. B. die Körperaxiome in Verbindung mit den Anordnungsaxiomen und dem Vollständigkeitsaxiom die reellen Zahlen: Alle wahren Aussagen über reelle Zahlen lassen sich aus diesen Axiomen ableiten.

Wenn eine deduktive Theorie irgendeinen Anspruch auf Plausibilität haben soll, so müssen ihre Axiome wohlbegründet sein (nur eben nicht mit den Mitteln dieser Theorie). Sie müssen "selbstverständlich" und "offenbar" sein. Mit Gödel u. a.: Axiomata in einer logischen Sprache können nur außerhalb ihrer selbst, in einer "Metasprache" begründet werden. Die Axiome dieser Sprache also nur in einer "Meta-meta-Sprache", und so fort. Die allerletzte Sprache (das 'allererste Kettenglied') ist auch für Logiker dann die sog. Umgangssprache.

Der Versuch, mathematische Sachverhalte auf Axiome zurückzuführen, wird als Axiomatisierung bezeichnet.

Beispiele

Newtonsche Axiome
Parallelenaxiom: "Zu jeder/m Geraden / Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt, gibt es genau eine Parallele durch diesen Punkt." Dieses Axiom der euklidischen Geometrie war immer als weniger klar und einleuchtend erschienen als die anderen und es gab viele Versuche, es aus den anderen abzuleiten. Schließlich wurden um die Wende zum 19. Jahrhundert nichteuklidische Geometrien konzipiert, die bewiesen, dass es logisch unabhängig ist.
"Die kürzeste Verbindung von zwei Punkten ist eine Gerade". Das Erstellen einer Geraden, die tatsächlich die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist, ist nach der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht ohne weiteres möglich. Die Physik hat dieses Axiom durch die Erklärungen zur Raumkrümmung – zumindest geometrisch – widerlegt. Ob es eine tatsächliche "kürzeste Verbindung" gibt, lässt sie offen.
"Zu jedem Prädikat P gibt es die Menge aller Dinge, die dieses Prädikat erfüllen." Dies ist das ursprüngliche Komprehensionsaxiom der Mengenlehre Georg Cantors, das so klar und einfach, so selbstverständlich ist, dass es einen großen Schock bedeutete, als sich herausstellte, dass es nicht widerspruchsfrei zu den anderen Axiomen hinzugefügt werden konnte.
"Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n' ." ist ein Axiom der Arithmetik. Es ist plausibel, weil es die Zählbewegung simuliert (man kann es mit Streichhölzern schreiben), deren protomathematische Evidenz klar ist.
"Der Raum in einem Inertialsystem ist homogen", d. h. es darf keine Rolle spielen, an welcher willkürlich gewählten Stelle im Raum ein Vorgang stattfindet, solange nur alle anderen Rahmenbedingungen gleich sind. Sollte dieses Axiom nicht erfüllt sein, gäbe es auf irgendeine Weise ausgezeichnete Stellen im Raum, deren Eigenschaften und Herkunft nur noch im Rahmen einer Religion erklärbar sind (tatsächlich definieren fast alle Religionen so etwas wie ein Jenseits, also einen Ort im Raum, an dem die sonst üblichen Gesetzmäßigkeiten nicht mehr gültig sind). In der klassischen Physik folgt direkt aus diesem Axiom die Erhaltung des Impulses.
"Wahr ist Falsch", ein Axiom muss keine Konsequenz einer übergeordneten Schlussfolgerungskette sein. Aus einer Theorie, die ein solches Axiom enthält, lassen sich aber beliebige Schlussfolgerungen ziehen.
Ein Axiom einer Religion oder Weltanschauung wird Dogma oder Paradigma genannt.

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Logik

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