Ausgleichungsrechnung

Die Ausgleichungsrechnung (auch Ausgleichsrechnung, Ausgleich(ung), Anpassung, Parameterschätzung oder Fit genannt; engl. least-squares adjustment) ist eine mathematische Optimierungsmethode, um für eine Reihe von Messdaten jene Funktion zu finden, die sich ihnen bestmöglich anpasst.

In der Sprache der Approximationstheorie ist es die Schätzung von unbekannten Parametern eines mathematischen Modells nach der Methode der kleinsten Quadrate. Im einfachsten Fall hat eine Ausgleichsrechnung zum Ziel, eine größere Anzahl empirischer Daten durch eine glatte Kurve zu beschreiben und die Restfehler (Residuen) zu minimieren.

Ausgleichsrechnungen werden in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften durchgeführt. Die Methode liefert das bestmögliche Ergebnis (least mean squares = LMS), wenn die Restfehler zufällig sind und einer Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve) folgen.

Einleitung

Im einfachsten Fall handelt es sich um die Ausgleichung der Messabweichungen (Verbesserung, Residuum) nach der Methode der kleinsten Quadrate (alternativ nach einer anderen Fehlerbewertungsfunktion, z. B. Minimierung der Absolutfehler). Hierbei werden die Unbekannten (die Parameter) des Modells so bestimmt, dass die Quadratsumme der Messabweichungen aller Beobachtungen minimal wird und damit Messkurve und Theoriekurve bestmöglich übereinstimmen.

Damit handelt es sich um ein Optimierungsverfahren. Die Beobachtungen werden meist als normalverteilt, gleichgenau und unkorreliert angesehen. Man untersucht die stochastischen Eigenschaften der Beobachtungen in der Regressionsanalyse.

Funktionales und stochastisches Modell

Im Allgemeinen wird zwischen funktionalem Modell und stochastischem Modell unterschieden.

Ein funktionales Modell beschreibt hierbei die mathematischen Relationen zwischen den bekannten (konstanten), unbekannten und den beobachteten Parametern. Die Beobachtungen stellen dabei stochastische Größen (Zufallsvariable) bzw. mit einem zufälligen Störsignal überlagerte Messgrößen dar.
Das stochastische Modell untersucht die Varianzen und Kovarianzen der beobachteten Parameter. Es beschreibt so die Streuung der Beobachtungen und die Korrelation(en) zwischen den verschiedenen Merkmalen.

Das Ziel ist eine optimale Ableitung der unbekannten Werte (Parameter) und der Maße für ihre Genauigkeit- und Zuverlässigkeit im Sinne einer Zielfunktion. Für letztere wählt man meistens die minimale Summe der Abweichungsquadrate, doch können es für Sonderfälle z. B. auch minimale Absolutwerte oder andere Zielfunktionen sein.

Lösungsverfahren

Zur Lösung von Ausgleichungsproblemen steht ein umfangreicher Formelapparat zur Verfügung. Je nach funktionalem und stochastischem Modell werden verschiedene Rechenformeln notwendig.

Das Hauptunterscheidungsmerkmal ist hierbei,

ob sich alle Beobachtungen als Funktionen von Unbekannten und Konstanten darstellen lassen,
ob die Beobachtungen voneinander unabhängig oder korreliert sind, bzw. ob die Korrelationen mathematischer oder physikalischer Natur sind;
ob die Relationen nur Beobachtungen und Konstanten aufweisen, jedoch keinerlei Unbekannte enthalten,
ob es unter der Menge der Relationen auch solche gibt, die ausschließlich Beziehungen unter Konstanten und Unbekannten beschreiben und damit Restriktionen zwischen Unbekannten beschreiben.
Bei gemischtem Auftreten von sehr verschiedenen Messgrößen - etwa bei geometrischen und physikalischen Messungen - wurden die Methoden der Ausgleichsrechnung von einigen Mathematikern und Geodäten um 1960 zur sog. Kollokation erweitert (siehe H. Moritz und H. Sünkel).
Auch für die Lösung des Systems von Normalgleichungen, die bei der Methode der kleinsten Quadrate aufgestellt werden können, gibt es zahlreiche Verfahren, die je nach Anzahl und Struktur der besetzten und leeren Matrixeinträge verschiedene Vor- und Nachteile besitzen (siehe z. B. Cholesky, Sparse- oder Bandmatrizen).

Weitere Stichworte

Gauß-Helmert, Fehlerrechnung, Matrizeninversion Vermittelnde Ausgleichung, Bedingte Ausgleichung, Robuste Schätzverfahren

Siehe auch

Approximation, Approximationstheorie,
Optimierungsverfahren, Höhere Mathematik
Carl Friedrich Gauß, Satz von Gauß-Markow,
Fehlerfortpflanzung
Netzausgleichung, Bündelblockausgleichung
Ausgleichsrechnung in der Fotogrammetrie
zufällige Fehler, systematische Fehler

Literatur

H. Wolf: Ausgleichsrechnung I und II : Formeln zur praktischen Anwendung. Bonn 1994 (2. Auflage)
Mathematische Exkurse: Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen

Numerische Mathematik | Statistik Geodäsie