Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz (lat. associare - vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen), auf Deutsch Verknüpfungsgesetz oder auch Verbindungsgesetz, ist eine Regel aus der Mathematik. Eine (zweistellige) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig.

Definition

Assoziativgesetz = Klammergesetz

In einem Summen- oder Produktterm darf man die Summanden oder Faktoren beliebig mit Klammern verbinden. Dies gilt auch für mehr als drei Summanden oder Faktoren.

Eine binäre Verknüpfung $*: A \times A\to M$ auf einer Menge $A$ in eine Menge $M$ heißt assoziativ, wenn für alle $a,b,c\in A$ gilt

a * \left( b * c \right) = \left( a * b \right) * c

(Assoziativität)

Folgerungen

Bei Gültigkeit des Assoziativgesetzes lässt sich eine vereinfachte klammerfreie Notation einführen. Wegen

\left( a + b \right) + c = a + \left( b + c \right)

ist der Ausdruck

a+b+c

eindeutig, da aus jeder beliebigen Klammerung immer das gleiche Ergebnis folgt.

Einordnung

Das Assoziativgesetz gehört zu den Gruppenaxiomen, wird aber bereits für die schwächere Struktur einer Halbgruppe gefordert.

Beispiele

Als Verknüpfungen auf den reellen Zahlen sind Addition und Multiplikation assoziativ, aber nicht Subtraktion und Division, denn es ist z. B.

2 - (3 - 1) = 0 \quad\neq\quad -2 = (2 - 3) - 1

Auch die Potenz ist nicht assoziativ, da z. B.

2^{(2^3)} = 2^8 = 256 \quad\neq\quad 64 = 4^3 = (2^2)^3

gilt.

Siehe auch

Logik | Mengenlehre | Algebra

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