Arkussinus (abgekürzt arcsin, asin oder sin^-1) ist die Umkehrfunktion der Sinusfunktion.

Arkuskosinus (abgekürzt mit arccos, acos oder cos^-1) ist die Umkehrfunktion des Kosinus.

Sie gehören damit zur Klasse der Arkusfunktionen.

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Definition

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Umkehrfunktion zu Sinus. Weil die Sinusfunktion $2\backslash pi$-periodisch ist, muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Da diese Einschränkung willkürlich ist, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Der wichtigste ist der Hauptzweig (oder Hauptwert), die Umkehrfunktion der Einschränkung .

Analog zum Arkussinus definiert man den Hauptwert des Arkuskosinus als die Umkehrfunktion von $\backslash cos|\_\{*\}$, diese bijektive Funktion wird bezeichnet mit

$\backslash arccos\backslash colon*\backslash to*$.

Umrechnung

$\backslash arccos\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; -\; \backslash arcsin\; x$

Eigenschaften

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Arcsin.png

Arccos.png

{|

!   Arkussinus Arkuskosinus Definitionsbereich $-1\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 1$ $-1\; \backslash le\; x\; \backslash le\; 1$ Wertebereich $-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash le\; f(x)\; \backslash le\; +\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$ $0\; \backslash le\; f(x)\; \backslash le\; \backslash pi$ Periodizität keine keine Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend Symmetrien Ungerade Funktion: $\backslash arcsin(-x)\; =\; -\backslash arcsin(x)\backslash !$ Punktsymetrie zu $\backslash left(x=0\backslash ;,\backslash ;y\; =\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash right)$
$\backslash arccos(x)\; =\; \backslash pi\; -\; \backslash arccos(-x)\backslash !$ Asymptoten $f(x)\; \backslash to\backslash pm\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$ für $x\; \backslash to\backslash pm\; 1$ $f(x)\; \backslash to\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash mp\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$ für $x\; \backslash to\backslash pm\; 1$ Nullstellen $x\; =\; 0\backslash !$ $x\; =\; 1\backslash !$ Sprungstellen keine keine Polstellen keine keine Extrema keine keine Wendepunkte $x\; =\; 0\backslash !$ $x\; =\; 0\backslash !$

Reihenentwicklung

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Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden des binomischen Lehrsatzes auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:

$\backslash arcsin(x)\; =\; \backslash sum\backslash limits\_\{k=0\}^\backslash infty\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash choose\; k\}(-1)^k\backslash frac\{x^\{2k+1\}\}\{2k+1\}\; =\; x+\backslash frac16\; x^3\; +\; \backslash frac\{3\}\{40\}\; x^5+\backslash frac\{5\}\{112\}x^7+\backslash frac\{35\}\{1152\}x^9\backslash cdots$.

Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung $\backslash arccos\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; -\; \backslash arcsin\; x$ :

$\backslash arccos(x)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}-\backslash sum\backslash limits\_\{k=0\}^\backslash infty\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash choose\; k\}(-1)^k\backslash frac\{x^\{2k+1\}\}\{2k+1\}$

Umkehrfunktionen

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{|cellspacing=10px style="margin:0.5em;" Arkussinus:    Sinusfunktion: $x\; =\; \backslash sin(y)\backslash !$ Arkuskosinus:    Kosinusfunktion: $x\; =\; \backslash cos(y)\backslash !$

Ableitungen

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Arkussinus:

$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash arcsin(ax+b)\; =\; \backslash frac\{a\}\{\backslash sqrt\{1-(ax+b)^2\}\}$

Mit a = 1 und b = 0:

$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash arcsin\; (x)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-x^2\}\}$

Arkuskosinus:

$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash arccos(ax+b)\; =\; -\; \backslash frac\{a\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; (ax+b)^2\}\}$

Mit a = 1 und b = 0:

$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash arccos(x)\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1-x^2\}\}$

Umrechnung:

$\backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash arccos(x)\; =\; -\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\; \backslash arcsin\; (x)$

Integrale

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Arkussinus:

$\backslash int\; \backslash arcsin\backslash left(\backslash frac\{x\}\{a\}\backslash right)\; dx\; =\; x\backslash ,\backslash arcsin\backslash left(\backslash frac\{x\}\{a\}\backslash right)\; +\; \backslash sqrt\{a^2\; -\; x^2\; \}$

Arkuskosinus:

$\backslash int\; \backslash arccos\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\}\{a\}\; \backslash right)\backslash ,\; dx=\; x\; \backslash ,\; \backslash arccos\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\}\{a\}\; \backslash right)\; -\; \backslash sqrt\{\; a^2\; -\; x^2\}$

$F(x)\; =\; x\; \backslash ,\; \backslash arccos(x)\; -\; \backslash sqrt\; \{1-x^2\}$

Anmerkungen

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Besondere Werte

• $\backslash arcsin(-1)=\; -\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$

• $\backslash arcsin\backslash left(\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{2\}\; \backslash right)\; =\; -\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash pi$

• $\backslash arcsin(0)=\; 0\backslash !$

• $\backslash arcsin\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{2\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash pi$

• $\backslash arcsin(1)=\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$

• $\backslash arccos(-1)\; =\; \backslash pi\backslash !$

• $\backslash arccos\backslash left(\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{2\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{3\}\{4\}\; \backslash pi$

• $\backslash arccos(0)\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash pi$

• $\backslash arccos\backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sqrt\{2\}\; \backslash right)\; =\; \backslash frac\{1\}\{4\}\; \backslash pi$

• $\backslash arccos(1)\; =\; 0\backslash !$

Weiterführendes

Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:

$\backslash arcsin\; z\; =\; -\backslash mathrm\{i\}\backslash ,\backslash ln\backslash left(\backslash mathrm\; i\; z+\backslash sqrt\{1-z^2\}\backslash right)$

$\backslash arccos\; z\; =\; -\backslash mathrm\{i\}\backslash ,\backslash ln\backslash left(z+\backslash mathrm\; i\backslash sqrt\{1-z^2\}\backslash right)$

Literatur

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• Ilja Bronstein, Konstantin Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. ISBN 3-87144-492-8

Siehe auch

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• Formelsammlung Trigonometrie
• Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktion | Trigonometrie

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