Arkustangens und Arkuskotangens sind mathematische Funktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen des Tangens bzw. des Kotangens und damit Arkusfunktionen. Da der Tangens periodisch ist, wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Tangens auf $(\; -\; \backslash pi\; /\; 2\backslash ;,\backslash ;\backslash pi\; /\; 2\; )$ beschränkt. Beim Arkuskotangens erfolgt eine Beschränkung auf $0\; \backslash le\; f(x)\; \backslash le\; \backslash pi$

Definition

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Umkehrfunktion zu Tangens und Kotangens.

Eigenschaften

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Arctan.png

Arccot.png

	Arkustangens	Arkuskotangens
Definitionsbereich
Wertebereich		$0\; \backslash le\; f(x)\; \backslash le\; \backslash pi$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton fallend
Symmetrien	Ungerade Funktion: $\backslash arctan(-x)\; =\; -\backslash arctan\; x$	Punktsymmetrie zu $(x=0\backslash ;,\backslash ;y\; =\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\})$ $\backslash arccot\; x\; =\; \backslash pi\; -\; \backslash arccot(-x)$
Asymptoten	$f(x)\; \backslash to\backslash pm\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$ für $x\; \backslash to\backslash pm\backslash infty$	$f(x)\; \backslash to\; \backslash pi$ für $x\; \backslash to\; -\backslash infty$ $f(x)\; \backslash to\; 0$ für $x\; \backslash to\; +\; \backslash infty$
Nullstellen	$x\; =\; 0$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$x\; =\; 0$	$x\; =\; 0$

$\backslash arctan(x)$	$-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$	$-\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}$	$-\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$	$-\backslash frac\{\backslash pi\}\{6\}$	$0$	$\backslash frac\{\backslash pi\}\{6\}$	$\backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$	$\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}$	$\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$
$x$	$-\backslash infty$	$-\backslash sqrt\{3\}$	$-1$	$-\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\}$	$0$	$\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{3\}\}$	$1$	$\backslash sqrt\{3\}$	$\backslash infty$

Reihenentwicklung

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Die Taylorreihe des Arkustangens lautet:

$$

\arctan x=\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= x - \frac13 x^3 + \frac15 x^5 - \frac17 x^7+ \cdots Diese Reihe konvergiert genau dann wenn $|x|\backslash le\; 1$ und $x\backslash neq\backslash pm\; i$ ist. Der Arkustangens ist allerdings auf ganz $\backslash mathbb\{R\}$ definiert.

Die Reihenentwicklung kann zur näherungsweisen Berechnung der Zahl π verwendet werden: Die einfachste Formel ist der Spezialfall $x=1$, die Leibniz-Formel

$\backslash frac\backslash pi4=1-\backslash frac13+\backslash frac15-\backslash frac17+-\backslash ldots$

Die kompliziertere Formel

$\backslash frac\backslash pi4=4\backslash arctan\backslash frac15-\backslash arctan\backslash frac1\{239\}$

verwendete John Machin 1706, um die ersten 100 Nachkommastellen von $\backslash pi$ zu berechnen.

Die Taylorreihe des Arkuskotangens lautet:

$\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; -\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{\backslash infty\}\; \{\; \backslash frac\{(-1)^k\}\{2k+1\}\; x^\{2k+1\}\}\backslash ;\; =\; \backslash ;\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}-\; x\; +\; \backslash frac\{1\}\{3\}x^3\; -\; \backslash frac15\; x^5\; +\; \backslash frac17\; x^7\; \backslash cdots$

Funktionalgleichung

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Die Arkustangenswerte über 1 lassen sich aus den Werten zwischen 0 und 1 ableiten:

$\backslash arctan\; \backslash frac\{1\}\{x\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; -\; \backslash arctan\; x$

Umkehrfunktionen

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Tangensfunktion und Kotangensfunktion:

$x\; =\; \backslash tan\; y\; \backslash ,$      $x\; =\; \backslash cot\; y\; \backslash ,$

Ableitungen

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Arkustangens:

$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dx\}\backslash arctan(x)=\backslash frac\{1\}\{1+x^2\}$

$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dx\}\; \backslash arctan(ax+b)\; =\; \backslash frac\{a\}\{1+(ax+b)^2\}$

Arkuskotangens:

$\{\backslash arccot\}\text{'}\; (x)=-\backslash frac\{1\}\{1+x^2\}$.

$\backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dx\}\; \backslash arccot(ax+b)\; =\; -\; \backslash frac\{\backslash mathrm\; d\}\{\backslash mathrm\; dx\}\; \backslash arctan(ax+b)=\; -\; \backslash frac\{a\}\{1\; +\; (ax+b)^2\}$

Stammfunktionen

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Arkustangens:

Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form

$\backslash frac1\{ax^2+bx+c\}.$

Ist die Diskriminante$D=b^2-4ac$ positiv oder null, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution

$u=\backslash frac\{2ax+b\}\{\backslash sqrt\{-D\}\}$

in die Form

$\backslash frac\{4a\}\{-D\}\backslash ,\backslash frac1\{1+u^2\}$

bringen; eine Stammfunktion ist also

$\backslash frac2\{\backslash sqrt\{-D\}\}\backslash arctan\backslash frac\{2ax+b\}\{\backslash sqrt\{-D\}\}.$

Eine Stammfunktion des Arkustangens selbst ist

$\backslash int\; \backslash arctan\; \backslash frac\{x\}\{a\}\; \backslash ,\backslash mathrm\; dx,\; =\; x\; \backslash ,\; \backslash arctan\; \backslash frac\{x\}\{a\}\; -\; \backslash frac\{a\}\{2\}\; \backslash ln\backslash left(a^2\; +\; x^2\backslash right).$

Arkuskotangens:

$F(x)\; =\; x\; \backslash ,\; \backslash arccot\; x\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ,\; \backslash ln\; \backslash left(\; 1\; +\; x^2\; \backslash right)\; +\; C$

$\backslash int\; \backslash arccot\; \backslash frac\{x\}\{a\}\; \backslash ,\; dx=\; x\; \backslash ,\; \backslash arccot\; \backslash frac\{x\}\{a\}\; +\; \backslash frac\{a\}\{2\}\; \backslash ,\; \backslash ln(a^2\; +\; x^2)$

Anmerkungen

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Arkustangens:

Man kann den Arkustangens durch den komplexen Logarithmus ausdrücken:

$\backslash arctan\; z=\backslash frac\{\backslash ln(1+\backslash mathrm\; iz)-\backslash ln(1-\backslash mathrm\; iz)\}\{2\backslash mathrm\; i\}$

Arkuskotangens:

Man kann den Arkuskotangens durch einen komplexen Logarithmus ausdrücken:

$\backslash arccot\; z=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}-\backslash frac\{\backslash ln(1+\backslash mathrm\; iz)-\backslash ln(1-\backslash mathrm\; iz)\}\{2\backslash mathrm\; i\}$

Zwischen Arkustangens und Arkuskotangens besteht folgende Beziehung:

$\backslash arccot\; z\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; -\; \backslash arctan\; z$

Der "Arkustangens" mit zwei Argumenten

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Diese Funktion dient bei der Umrechnung von kartesischen Koordinaten $P(x;y)$ in Polarkoordinaten $P(r\; ;\; \backslash varphi)$ der Ermittlung des Winkels. Da der Arkustangens mit einfachem Argument nicht die Möglichkeit bietet, den Winkel im korrekten Quadranten zu ermitteln, und außerdem die Tangensfunktion für einen Funktionswert von $\backslash pm\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$ nicht umkehrbar ist, gibt es in verschiedenen Programmiersprachen (z. B. in C) eine Funktion, die mit 2 Argumenten aufgerufen wird. Sie wird mit "$\backslash operatorname\{atan2\}(x,y)$", "$\backslash operatorname\{arg\}(x,y)$" o. ä. bezeichnet.

Die Funktion $\backslash operatorname\{arg\}()$ kann über die folgende Eigenschaft definiert werden: Sind $x,y$ reelle Zahlen und $r=\backslash sqrt\{x^2+y^2\}$, so gilt:

$x\; =\; r\backslash cdot\backslash cos(\backslash operatorname\{arg\}(x,y))$

$y\; =\; r\backslash cdot\backslash sin(\backslash operatorname\{arg\}(x,y))$

$(r,\backslash operatorname\{arg\}(x,y))$ sind hierbei die Polarkoordinaten des Punktes mit den kartesischen Koordinaten $(x,y)$.

Definition

Eine von mehreren, in der Praxis vorkommenden Definitionen:

$\backslash operatorname\{arg\}(x,y)=\backslash arctan\backslash frac\{y\}\{x\}$	für $x\; >\; 0$
$\backslash operatorname\{arg\}(x,y)=\backslash arctan\backslash frac\{y\}\{x\}\; +\; \backslash pi$	für
$\backslash operatorname\{arg\}(x,y)=\backslash arctan\backslash frac\{y\}\{x\}\; -\; \backslash pi$	für
$\backslash operatorname\{arg\}(x,y)=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$	für $x\; =\; 0\; \backslash land\; y\; >\; 0$
$\backslash operatorname\{arg\}(x,y)=\; -\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$	für

Für $x\; =\; y\; =\; 0$ ist die Funktion nicht definiert.

Wertebereich

Bei der o. g. Definition:

Anmerkungen

Eine weitere Möglichkeit, besteht darin, die Funktion $\backslash operatorname\{arg\}(y,x)$ über den Hauptwert der folgenden Funktion zu definieren:

$$

\operatorname{arg}(x,y)=\frac{1}{\mathrm i}\log\frac{x+\mathrm iy}{\sqrt{x^2+y^2}}=\arg(x+\mathrm iy)

Diese Funktion wird zum Beispiel in der inversen Kinematik genutzt, um korrekte Gelenkeinstellungen berechnen zu können.

Siehe auch

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• Formelsammlung Trigonometrie
• Trigonometrische Funktionen

Trigonometrische Funktion | Trigonometrie

Arcussinus | Inverse trigonometric function | Fonction arctangente | Arcocotangente | Funkcje odwrotne do trygonometrycznych | Arcus tangens