Antinomie

Eine Antinomie (griech. anti 'gegen', nomos 'Gesetz') ist eine spezielle Art des logischen Widerspruchs, bei der die zueinander in Widerspruch stehenden Aussagen gleichermaßen gut begründet (bzw. im Fall formaler Systeme: bewiesen) sind.

Begriffsklärung

Der philosophische Terminus 'Antinomie' geht auf Immanuel Kants Kritik der reinen Vernunft (KrV) zurück. In der Transzendentalen Dialektik definiert Kant eine Antinomie als einen "Widerstreit der Gesetze" (KrV A407/B434).

In der modernen Logik wird der Begriff nicht ganz einheitlich verwendet und ist zum Teil nicht scharf gegen den Begriff der Paradoxie abgegrenzt. Im deutschen Sprachraum ist es jedoch weitgehend üblich, den Ausdruck 'Antinomie' für solche Widersprüche zu reservieren, die im Rahmen eines formalen Systems streng beweisbar sind und somit auf einen Fehler bei der Konzeption der Schlussregeln oder der Axiome dieses Systems hinweisen (z. B. die Antinomien der Naiven Mengenlehre). Als Paradox oder Paradoxie (griech. para 'gegen', doxa 'Meinung') wird dann im Gegensatz dazu meist eine wohlbegründete Aussage bezeichnet, die der landläufigen Meinung widerspricht, was aber keine echten logischen Schwierigkeiten bewirkt. Viele wissenschaftliche Einsichten können in diesem harmlosen Sinn paradox erscheinen (z. B. die Zwillingsparadoxie in der Einsteinschen Relativitätstheorie oder die sogenannten Paradoxien der materialen Implikation in der formalen Logik). Wohl unter dem Einfluss des Englischen, wo der Ausdruck 'antinomy' nicht besonders verbreitet und in seiner Anwendung meist auf die Kantischen Antinomien beschränkt ist, wird der Ausdruck 'Paradoxie' (engl. 'paradox') jedoch häufig auch in einem weiten Sinn verwendet, der auch die Antinomien umfasst.

Unter einem Widerspruch wiederum wird in der modernen Logik einfach die Konjunktion aus einer Aussage und ihrer Negation verstanden, also eine Aussage der Form A $\and \neg$ A (lies: "A und nicht-A"). Dieser (sehr weit gefasste) Begriff verhält sich neutral gegenüber der Frage der Beweisbarkeit bzw. Begründbarkeit und umfasst z. B. auch solche Widersprüche, die im Rahmen eines indirekten Beweises eigens zu dem Zweck hergeleitet werden, eine der an der Herleitung beteiligten Annahmen zu negieren. Nicht jeder Widerspruch ist deshalb philosophisch problematisch.

Die Kantischen Antinomien

Die vier Antinomien der reinen Vernunft in der Transzendentalen Dialektik (KrV A 426/B 454ff.) sollen bei Kant den "Widerstreit der transzendentalen Ideen" und damit den antinomischen Charakter der reinen Vernunft überhaupt belegen, die einerseits Bedingtes durch Unbedingtes zu begründen sucht, andererseits aber immer bis ins Unendliche weitere Bedingungen auffinden will. Die Antinomien bestehen aus "Thesis" und "Antithesis", für die jeweils ein "Beweis" vorgelegt wird:

"Die Welt hat einen Anfang in der Zeit, und ist dem Raum nach auch in Grenzen eingeschlossen." – "Die Welt hat keinen Anfang, und keine Grenzen im Raume, sondern ist, sowohl in Ansehung der Zeit, als des Raumes, unendlich."
"Eine jede zusammengesetzte Substanz in der Welt besteht aus einfachen Teilen, und es existiert überall nichts als das Einfache, oder das, was aus diesem zusammengesetzt ist." – "Kein zusammengesetztes Ding in der Welt besteht aus einfachen Teilen, und es existiert überall nichts Einfaches in derselben." (unendliche Teilbarkeit)
"Die Kausalität nach Gesetzen der Natur ist nicht die einzige, aus welcher die Erscheinungen der Welt insgesamt abgeleitet werden können. Es ist noch eine Kausalität durch Freiheit zur Erklärung derselben anzunehmen notwendig." – "Es ist keine Freiheit, sondern alles in der Welt geschieht lediglich nach Gesetzen der Natur."
"Zu der Welt gehört etwas, das, entweder als ihr Teil, oder ihre Ursache, ein schlechthin notwendiges Wesen ist." – "Es existiert überall kein schlechthin notwendiges Wesen, weder in der Welt, noch außer der Welt, als ihre Ursache."

Semantische Antinomie

Bei einer semantischen Antinomie ergibt sich der Widerspruch aus dem Inhalt der Aussagen.

So ist zum Beispiel die Frage, ob es in der Welt Entscheidungsfreiheit (oder Zufall) gibt oder alles (streng) deterministisch nach Naturgesetzen geschieht, eine klassische Antinomie. Denn einerseits kann es keine Freiheit geben, da sonst das Gesetz von Ursache und Wirkung durchbrochen würde. Andererseits muss es allerdings Freiheit (Zufall) geben, denn irgendwo muss der ganze Stein von Ursache und Wirkung schließlich spontan ins Rollen gebracht worden sein.

Seit der Antike sind semantische Antinomien vom Typ des Lügner-Paradoxons bekannt; dabei handelt es sich um Aussagen, die ihren eigenen Wahrheitsgehalt thematisieren und sich damit selbst widersprechen; im einfachsten Fall:

Diese Aussage ist falsch.

Wenn diese Aussage wahr ist, dann ist sie falsch – denn falsch zu sein ist ihre Aussage. Wenn sie aber falsch ist, dann ist es nicht richtig, dass sie falsch ist – ist sie also wahr. Es ist demnach nicht möglich, der Aussage einen Wahrheitswert zuzuordnen, weil jeder Versuch, es zu tun, zu einem Selbstwiderspruch führt.

Eine abgeschwächte Variante ist das Paradoxon des Epimenides, demzufolge der Kreter Epimenides Folgendes aussage:

"Die Kreter sind immer Lügner"

("Es hat einer von ihnen gesagt, ihr eigener Prophet: Die Kreter sind immer Lügner, böse Tiere und faule Bäuche. ^*", Epimenides, De oraculis)

Spräche Epimenides die Wahrheit, dann hätte er etwas Falsches ausgesagt – seine Aussage wäre also paradox. Spricht er aber die Unwahrheit (ist er also ein Lügner), wäre seine Aussage zwar falsch, aber harmlos: Er hätte dann lediglich ausgesagt, dass nicht alle Kreter immer lügen, und das ist logisch möglich, soferne er nicht der einzige Kreter und seine Aussage nicht die einzige jemals von einem Kreter getätigte Aussage ist.

Syntaktische Antinomie

Bei einer syntaktischen Antinomie ergibt sich der Widerspruch aus der formalen Struktur und der Anwendung von formalen Regeln. Der Inhalt spielt dabei keine Rolle.

Bei den syntaktischen Antinomien tritt der Widerspruch oft durch Selbstbezüglichkeit auf:

Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer von Sevilla, nur nicht die, die sich selbst rasieren.
Der Satz, der über sich behauptet, dass er falsch ist, ist wahr.
Wenn Gott allmächtig ist, kann er dann auch einen Stein schaffen, der so schwer ist, dass er ihn selbst nicht mehr heben kann?

Logische Antinomie

Bei einer logischen Antinomie ergibt sich der Widerspruch aus den Wahrheitswerten zweier oder mehrerer Aussagen. Die gesamte Aussageform erhält somit den Wahrheitswert FALSCH.

Beispiel: P Λ ¬P (gesprochen: P und nicht P)

P ist ein beliebiger logischer Ausdruck, der die Wahrheitswerte WAHR (W) oder FALSCH (F) annehmen kann.

Beweis:

P	¬P	P Λ ¬P
W	F	F
F	W	F

Eine Aussageform R wird dann als Antinomie bezeichnet, wenn die von R abhängigen Variablen P₁, P₂, ..., P_n Variablen zum Wahrheitswert F führt.

Man schreibt auch: R ~ F

Dabei ist F eine (feste) falsche Aussage (z.B. 1 ≠ 1), die auch als konstante Aussageform zu den Variablen P₁, P₂, ..., P_n interpretiert werden kann, welche wiederum äquivalent zu R ist.

Lösung

Bei der Antinomie erscheinen beide Thesen gleichermaßen richtig und werden absurd, wenn man die jeweils andere betrachtet. Folglich ist eine Antinomie nur dadurch lösbar, dass man eine der Voraussetzungen oder die Schlussregeln aus einem anderen Blickwinkel heraus betrachtet und für unannehmbar hält.

(Im Falle des Russellschen Barbiers: "Diesen Barbier gibt es gar nicht"). Andernfalls hat nämlich immer der Recht, der das letzte Wort hat ...

Berühmt geworden sind auch die Antinomien der reinen Vernunft von Immanuel Kant sowie die Russellsche Antinomie über Mengen, die sich selbst enthalten (oder eben nicht).

Diese Antinomien führten zu Diskussionen über die Grundlagen der Mathematik und einer neuen Betrachtungsweise ihrer Fundamente.

Siehe auch

Tautologie

Logik | Wissenschaftstheorie