Der anharmonische Oszillator ist ein Modell in der Quantenmechanik, das durch Einsetzen eines bestimmten Potentials, z.B. Morse-Potential, in den Hamiltonoperator entsteht.

Es ist ein Approximationsverfahren zur Lösung vieler verschiedener zeitunabhängiger quantenmechanischer Probleme. Durch die Taylorentwicklung komplizierterer, mit analytischen Mitteln unlösbarer Potentiale um ein Minimum zu einer der folgenden Formen $H\_i$ lassen sich diese Probleme auf ein System reduzieren, für das die Energieeigenwerte bekannt sind.

Beispiele für anharmonische Oszillatoren sind durch folgende Hamiltonoperatoren gegeben:

• $H\_1\; =\; \{p^2\; \backslash over\; 2m\}\; +\; \{1\backslash over\; 2\}\; k\; x^2\; +\; \{1\backslash over\; 2\}\; k\text{'}\; x^2$
• $H\_2\; =\; \{p^2\; \backslash over\; 2m\}\; +\; \{1\backslash over\; 2\}\; k\; x^2\; +\; \backslash lambda\; x^3$
• $H\_3\; =\; \{p^2\; \backslash over\; 2m\}\; +\; \{1\backslash over\; 2\}\; k\; x^2\; +\; a\; x^3\; +\; b\; x^4$

Hierbei entsprechen die ersten beiden Summanden jeder Formel dem Hamiltonoperator des harmonischen Oszillators.

Der Terminus „Anharmonischer Oszillator“ wird gewöhnlich nur für diese Hamiltonoperatoren verwendet, für die geschlossene Lösungen existieren. Damit eine Taylorentwicklung möglich ist, müssen die in den obigen Formeln auftretenden Konstanten höherer Ordnung klein gegenüber k sein.

Für $H\_1$ sind die Energieeigenwerte:

$E\_n\; =\; \backslash hbar\; \backslash omega\; \backslash left(\; n\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right\; )\; \backslash left\; (\; 1\; +\; \backslash frac\{k\text{'}\}\{k\}\; \backslash right\; )^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}$

Die ersten Terme der Taylorreihe von $E\_n$ lauten

$E^\{(1)\}\_n\; =\; \backslash hbar\; \backslash omega\; \backslash left(\; n\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right\; )\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{k\text{'}\}\{2k\}\; \backslash right\; )$

$E^\{(2)\}\_n\; =\; \backslash hbar\; \backslash omega\; \backslash left(\; n\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash right\; )\; \backslash left\; (\; -\; \backslash frac\{k\text{'}^2\}\{8k^2\}\; \backslash right\; )$

weil

$\backslash left1\; +\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{k\text{'}\}\{k\}\; \backslash right\; )\; \backslash right^\{\backslash frac\{1\}\{2\}\}\; =\; 1\; +\; \{1\backslash over\; 2\}\{k\text{'}\backslash over\; k\}\; -\; \{1\backslash over\; 8\}\{k\text{'}^2\backslash over\; k^2\}\; +\; \backslash cdots$

für kleine $\{k\text{'}\backslash over\; k\}$.

Quantenphysik