Als Anfangswertproblem (AWP) (oder manchmal auch als Anfangswertaufgabe (AWA) oder Cauchy-Problem) bezeichnet man in der Mathematik Problemstellungen, in denen aus vorgegebenen Anfangsdaten $y\_0$, dem Anfangswert, zu einem Zeitpunkt $t\_0$ und einer Differentialgleichung für $y(t)\backslash !$ Funktionswerte für beliebige $t$ berechnet werden sollen.

$y\text{'}(t)\; =\; f(t,\; y(t))\backslash !$ $y(t\_0)\; =\; y\_0\backslash !$ heißt AWP 1. Ordnung.

Allgemeine Definition

Seien $k\backslash in\backslash mathbb\{N\},~D\backslash subseteq\backslash mathbb\{R\}\backslash times\backslash mathbb\{R\}^\{k\backslash cdot\; n\},~(x\_0,y\_0,y\_1,\backslash ldots,y\_\{k-1\})\backslash in\; D,~f:D\backslash rightarrow\backslash mathbb\{R\}^n$

heißt AWP k. Ordnung

Ein spezielles Anfangswertproblem ist das Riemann-Problem, bei dem die Anfangsdaten konstant sind bis auf eine Unstetigkeitsstelle.

Anfangswertprobleme treten zum Beispiel in den Naturwissenschaften auf, wenn für natürliche Prozesse ein mathematisches Modell gesucht wird.

Wichtige Sätze, die die Lösbarkeit von AWP betreffen sind der (lokale) Existenzsatz von Peano und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf. Ein Hilfsmittel ist die Gronwall-Ungleichung.

Siehe auch: Randwertprobleme, Eulersches Polygonzugverfahren

Differentialgleichungen

Initial value problem