Analysis

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Die Analysis ^* (von griech. ανάλυσις, análysis = „Auflösung“, vom altgriechischen Verb ἀναλύειν, analyein = „auflösen“; im heutigen Griechisch in der volkstümlicheren Form ανάλυση) ist ein Teilgebiet der Mathematik, dessen Grundlagen von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton unabhängig voneinander entwickelt wurden.

Die grundlegende Analysis befasst sich mit Grenzwerten von Folgen und Reihen sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Viele wichtige Funktionen der Analysis lassen sich als Grenzwerte von Reihen darstellen.

Die Analysis arbeitet häufig mit Abschätzungen und Ungleichungen. Die Ergebnisse, die durch diese Techniken gewonnen werden, sind jedoch exakt.

Die Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes in der Analysis auf Funktionen mit Definitions- und Wertebereich in den komplexen Zahlen ist Bestandteil der Funktionentheorie.

Die Methoden der Analysis sind in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften von großer Bedeutung.

Differentialrechnung

Bei einer Geraden

g(x) = mx + c

heißt m die Steigung und c der y-Achsen-Abschnitt oder Ordinatenabschnitt der Geraden. Hat man nur 2 Punkte $(x_0, y_0)$ und $(x_1, y_1)$ auf einer Geraden, so kann die Steigung berechnet werden durch

m = \frac{y_0 - y_1}{x_0 - x_1} .

Bei Funktionen wie z.B. $f(x) = x^2$ kann die Steigung so nicht mehr berechnet werden, da die Kurve eben keine Gerade ist. Jedoch kann man an einen Punkt $(x_0, f(x_0))$ eine Tangente legen, die wieder eine Gerade darstellt. Die Frage ist nun, wie man die Steigung einer solchen Tangente an einer Stelle $x_0$ berechnen kann. Wählt man jetzt eine Stelle $x_1$ ganz nahe bei $x_0$ und legt eine Gerade durch die Punkte $(x_0, f(x_0))$ und $(x_1, f(x_1))$ , so ist die Steigung dieser Sekante nahezu die Steigung der Tangente. Die Steigung der Sekante ist (s.o.)

m = \frac{f(x_0) - f(x_1)}{x_0 - x_1} .

Diesen Quotienten nennt man den Differenzenquotient oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle $x_1$ immer weiter an $x_0$ annähern, so erhalten wir per Differenzenquotient die Steigung der Tangente. Wir schreiben

f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x_0) - f(x)}{x_0 - x}

und nennen dies die Ableitung oder den Differentialquotienten von f in $x_0$ . Der Ausdruck $\lim_{x\rightarrow x_0}$ bedeutet, dass x immer weiter an $x_0$ angenähert wird, bzw. dass der Abstand zwischen x und $x_0$ unendlich klein wird. Wir sagen auch: „x geht gegen $x_0$ “. Die Bezeichnung $\lim$ steht für Limes.

f^\prime (x_0)

ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.

Es gibt auch Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert. Deswegen hat man den Begriff Differenzierbarkeit eingeführt. Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle $x_0$ , wenn der Grenzwert $f^\prime (x_0)$ existiert.

Integralrechnung

Die Integralrechnung befasst sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche kann durch eine Summe von Teilflächen approximiert werden und geht im Grenzwert in das Integral über.

\int_{a}^{b} f(x)\, dx := \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i \frac{b-a}{n}\right)

Die obige Folge konvergiert, falls f gewisse Bedingungen (wie z. B. Stetigkeit) erfüllt. Diese anschauliche Darstellung (Approximation mittels Ober- und Untersummen) entspricht dem so genannten Riemann-Integral, das in der Schule gelehrt wird.

In der so genannten Höheren Analysis werden darüber hinaus weitere Integralbegriffe, wie z. B. das Lebesgue-Integral betrachtet.

Hauptsatz der Analysis

Differentialrechnung und Integralrechnung verhalten sich nach dem Hauptsatz der Analysis invers zueinander.

{d\over dx} \left(\int f(x) dx\right)= \int\left({d\over dx}f(x)\right)dx = f(x)

Viele Lehrbücher unterscheiden zwischen Analysis in einer und Analysis in mehreren Dimensionen. Diese Differenzierung berührt die grundlegenden Konzepte nicht, allerdings gibt es in mehreren Dimensionen eine reichere mathematische Vielfalt.

Weitere Gebiete der Analysis

Funktionen mit komplexen Veränderlichen (Komplexe Analysis oder auch Funktionentheorie)
Differentialgleichungen
Variationsprobleme
Unendlichdimensionale Funktionenräume (Funktionalanalysis)
Vektoranalysis
harmonische Analysis
Nichtstandardanalysis

Literatur

Otto Forster: Analysis 1, Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-67224-2.
Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teubner, Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-62233-5
Stefan Hildebrandt: Analysis, Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42838-0.
Konrad Königsberger: Analysis, Bd. 1, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
Burkhard Lenze: Basiswissen Analysis, W3L-Verlag, Bochum 2006, ISBN 3-937-13780-7.
Wolfgang Walter: Analysis, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20388-5.

Weblinks