Ein Alternativkörper ist ein Körper (im mathematischen Sinn), in dem weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz gelten müssen. Stattdessen wird gefordert, dass die Multiplikation die Eigenschaft der Alternativität hat.

Definition

Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen + und * ist ein Alternativörper, wenn gilt:

• (M,+) ist eine Abelsche Gruppe, deren neutrales Element als 0 bezeichnet wird;
• (M\{0},*) ist eine Quasigruppe mit neutralem Element, das als 1 bezeichnet wird;
• Für die Verknüpfung * gilt die Alternativität: o · ( o · p ) = ( o · o ) · p und o · ( p · p ) = ( o · p ) · p.
• es gilt das Distributivgesetz a*(b+c) = a*b + a*c.

Beispiel

Das bekannteste Beispiel eines Alternativkörpers sind die Oktonionen.

Eigenschaften

Aus der Alternativität folgt weiterhin das Flexibilitätsgesetz

• o · (p · o) = ( o · p ) · o.

In einem Alternativkörper gelten ferner die Moufang-Identitäten für die Verknüpfung *

• · (b · a) · c = a · · (a · c)

und

• (a · b) · (c · a) = a · · c) · a

Ruth Moufang zeigte 1934 dass drei beliebige Elemente a, b, c aus einem Alternativkörper, die der Relation (a * b) * c = a * (b * c) genügen, einen Schiefkörper erzeugen. Dies ist eine Verschärfung des Satzes von Artin. Der Satz von Artin entsteht für den Spezialfall c = 1.

Algebra