Achilles und die Schildkröte

Achilles und die Schildkröte bezeichnet ein Paradoxon des griechischen Philosophen Zenon von Elea.

Achilles, der schnellfüßige, unbesiegbare griechische Held, misst sich im Wettrennen mit einer Schildkröte. Weil die Schildkröte um vieles langsamer ist, gibt er ihr einen großen Vorsprung. Um sie nun einzuholen, muss Achilles aber erst den Punkt erreichen, an dem die Schildkröte startet. Wenn er diesen Punkt erreicht hat, hat sich die Schildkröte aber ebenfalls weiterbewegt, sie liegt also immer noch vorne. Hat Achilles auch diese Strecke überwunden, so hat sich auch die Schildkröte wieder ein Stück weiter bewegt. Achilles kann die Schildkröte also niemals einholen.

Zenon will damit darauf hinweisen, daß auf diese Weise kein Folgeglied 0 wird. Man erhält also bis in alle Unendlichkeit einen positiven Beitrag zur Summe.

mathematischer Hintergrund

Das Problem hinter diesem Paradoxon besteht darin, dass in der Antike die Konvergenzkriterien für unendliche Reihen noch nicht bekannt waren. Eine unendliche Reihe = aller a(i) von i = 0 bis unendlich. Natürlich müssen die a(i) eine Nullfolge sein. Dies genügt aber nicht. Die unendliche Reihe aller

a(i) = \frac{1}{i+1}

divergiert gegen unendlich. Beweis:

\frac{1}{i+1} + \frac{1}{i+2} + \frac{1}{i+3} + .....+\frac{1}{2i} > \frac{i}{2i} = \frac{1}{2}

Die unendliche Reihe (Summe aller $a(i)= \frac{1}{2^i}$ von i = 0 bis unendlich) konvergiert dagegen gegen 2. Beweis: $\sum_{0}^{i+1} S(i) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + .........+\frac{1}{2^i} = 2- \frac{1}{2 ^i}$ ; Für i gegen unendlich geht das zweite Glied der Differenz gegen Null.

Die Konvergenz dieser Reihe hätte sich aber schon Zenon so klar machen können: Das Glied a(i+1) = a(i)/2. Das heißt, daß der Wert $\sum_{0}^\infty S(i) < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + .........+ 2\cdot\frac{1}{2^i}$ da die $\sum_{i+1}^\infty S(n) < \frac{1}{2^i}$ ;

Da bei dem Beispiel von Achill und der Schildkröte das einzelne Folgeglied kleiner als $\frac{1}{2 ^i}$ ist, ist es erst recht deren Summe und diese hat daher einen Grenzwert < 2.

Zur exakten Berechnung, wann Achill die Schildkröte eingeholt hat (nach welcher Zeit) messe man die Startvorgabe A(0) der Schildkröte und den Abstand A(1) zwischen Achill und Schildkröte nach genau einer Sekunde. Dann ist $a(i)= \left(\frac{A1}{A0}\right)^i$ das i-te Folgenglied. Der Grenzwert der unendlichen Reihe $\sum_{0}^\infty a(i)$ ist der Zeitpunkt an dem Achilles die Schildkröte erreicht.

Bedeutung und Hintergrund

Zenon lebte zu einer Zeit, als die griechische (vorsokratische) Philosophie von zwei Hauptströmungen geprägt war. Auf der Suche nach dem Urgrund aller Dinge gab es zwei Hauptvertreter, nämlich Parmenides („Der Urgrund aller Dinge ist das Unveränderliche“) und Heraklit („Der Urgrund ist das Veränderliche, die Bewegung“ - „Alles fließt“). Zenon von Elea war Schüler des Parminedes. Mit seinen Paradoxien wollte er jedoch nicht dessen Philosophie bestätigen, sondern in erster Linie Heraklit widerlegen.

Er stellte seine Paradoxa stets vor dem Hintergrund „Sind Raum und Zeit diskret oder kontinuierlich?“ auf. Das Paradoxon von Achilles und der Schildkröte ist das bekannteste. Es geht davon aus, dass die Welt diskret ist und führt zu einem Widerspruch. Andere Paradoxa, z.B. das Pfeil-Paradoxon, gehen davon aus, dass die Welt kontinuierlich ist und führen ebenfalls zu einem Widerspruch. Daraus schließt er, dass die Bewegung nicht erklärbar ist und insbesondere nicht der Urgrund aller Dinge sein kann. Wahrscheinlich erhielt Zenon seinen Impuls zur Erfindung der Paradoxien nicht aus der Mathematik, sondern von den Spekulationen des Parmenides.

Zenons Paradoxa beschäftigen die Mathematik bis heute, und die Frage nach der Beschaffenheit von Raum und Zeit (diskret oder kontinuierlich) ist bis heute nicht endgültig geklärt.

Weitere Paradoxa

Es gibt eine weitere Form des selben Paradoxons, die Dichotomie, wonach Achilles gar nicht mit dem Lauf beginnen kann: Bevor er die erste Strecke zurücklegen kann, muss er die Hälfte zurücklegen und davor ein Viertel usw. und so kommt er nicht zum Loslaufen.

Ein fliegender Pfeil kann sich nicht bewegen, denn zu einem gegebenen Zeitpunkt nimmt er einen Ort ein, der seiner Gestalt gleicht, und er kann weder einen größeren Ort einnehmen noch an zwei Orten zugleich sein. Weil der Pfeil sich aber nicht in einem Augenblick bewegen kann, quasi ohne Zeitverzögerung, bleibt er überhaupt stehen.

Das Paradoxon von der fallenden Hirse kann gelöst werden: Wenn ein fallendes Fuder Hirse ein Geräusch macht, so auch ein einzelnes Korn. Wenn nämlich das Korn kein Geräusch macht, dann auch das Fuder nicht. Hier liegt die Lösung in der Begrenzung der Wahrnehmung.

Ein anderes ist das Paradoxon der sich bewegenden Blöcke, das ebenfalls lösbar ist.

Aristoteles

Aristoteles versucht die Argumente zu widerlegen, indem er darauf hinweist, dass nicht nur der Raum sondern auch die Zeit unbegrenzt dividierbar seien. Den unendlich vielen Raumteilen stehen unendlich viele Zeitteile mit endlicher Summe gegenüber. Dieses Argument ist auf den ersten Blick überzeugend, jedoch nur bis der Abstand zur Schildkröte ganz klein geworden ist.

Ein anderes Argument von Aristoteles ist, dass der Augenblick kein Teil der Zeit ist, obwohl er Vergangenheit von Gegenwart scheidet. Denn Zeit ist ausgedehnt und damit auch ihre Teile und sie ist nicht aus Augenblicken zusammengesetzt.

Zweifel an den mathematischen Grundlagen im 19. Jahrhundert führen zu einer erneuten Auseinandersetzung mit diesem Thema. Bis 2004 wurden immer noch Lösungsversuche veröffentlicht.

Lösungsmöglichkeiten

Nachfolgend seien einige Lösungsmöglichkeiten des Paradoxons von Achilles und der Schildkröte beschrieben. Als gemeinsame Voraussetzung für die Ansätze gibt Achilles der Schildkröte einen Vorsprung von 90 Metern. Achilles läuft zehnmal so schnell wie die Schildkröte. Das Dilemma besteht folgendermaßen: Ist Achilles der Schildkröte 90 Meter nachgelaufen, ist diese weiter 9 Meter ihm voraus gelaufen. Läuft Achilles wieder diese neun Meter, ist sie ihm erneut 0,9 Meter vorausgelaufen und so weiter unendlich fort.

"Einfacher" Ansatz

Dieser Ansatz ignoriert die Frage nach dem Zeitpunkt bzw. Ort, an dem Achilles die Schildkröte überholt, sondern zeigt, dass er sie überholt und widerlegt damit Zenons Ziel: Wenn Achilles für die 90 Meter 15 Sekunden gebraucht hat und die Schildkröte während dieser Zeit 9 Meter weit gekommen ist, so wird nach weiteren 15 Sekunden die Schildkröte 18 Meter weit sein und Achilles 180 Meter weit und hat damit die Schildkröte überholt.

Die – logische – Lösung des Paradoxons

Auf einer Geraden werden zwei Punkte A und S mit beliebigem Abstand gesetzt. A soll S einholen, wenn beide gleichzeitig starten und A schneller sei als S. Behauptung: Unter der Bedingung, dass A immer nur dorthin läuft wo S gerade ist, bzw. war und, dass die Gerade eine unendliche Punktmenge ist, kann A S nicht einholen. Beweis: Wir nehmen an, dass A S im Punkt E einholt. Dieser Punkt teilt die Halbgerade AS in zwei Punktmengen, die jeweils unendlich sind. Aus der unendlichen Punktmenge vor E kann A nicht heraus, weil hier immer S vor A ist (für die unendliche Punktmenge nach E gilt: hier kann A nicht hinein, denn hier gilt immer A vor S). Daraus folgt, dass unter diesen Bedingungen A S nicht einholen kann. Die Bedingung, die man Achilles stellt ist eine nicht hinreichende Bedingung. Q. e. d. Sie ist nicht einmal notwendig, das wäre sie nur dann, wenn die beiden Bewegungen tatsächlich von einander abhängen würden. Das ist aber nicht der Fall.

Infinitesimaler Ansatz

„Dann ist es notwendig, dass das eine einen gewissen Abstand vom anderen halten muss, und das gilt auch für das Vorstehende. Denn auch dieses hat Größe und etwas von ihm steht hervor. Dieses einmal zu sagen ist dasselbe wie es immer wieder zu sagen. Denn nichts davon ist das Äußerste und niemals wird etwas davon mit anderem unvergleichbar sein. Gibt es daher viele Dinge, so müssen sie klein und groß sein: Klein, um überhaupt keine Größe zu haben, und groß für eine unendliche Ausdehnung“.

Dies scheint im Widerspruch zu stehen mit den elementarsten Betrachtungen aus der Theorie der konvergenten Reihen, dass nämlich z.B. die Summe der unendlichen Reihe 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... gleich 1 ist. Die mathematische Formel ist ein bequemes Symbol für die Tatsache, dass unbegrenzt fortgesetzt Zweiteilung der Eins die Eins nicht übersteigen kann, eine Tatsache, deren sich Zenon wohl bewusst war, wie andere Fragmente klar zeigen. Was er offenbar versuchte ist dies: Für den menschlichen Geist ist es nicht möglich, die Summe einer solchen unendlichen Reihe zu bilden, indem man sozusagen vom anderen Ende beginnt. Bei der Bildung der Summe muss man vielmehr mit Elementen beginnen, die eine Größe haben. Die Schwierigkeit ist wesentlich dieselbe wie bei der Bewegung (H.Fränkel Zeno of Elea's Attacks on Plurality) *zit nach Kurt von Fritz „Zenon aus Elea“, s.a Weblink „Aufsatz ...".

Asymptote.png

Ansatz

Wir verfolgen Achilles' Lauf, bis seine Laufstreckenintervalle unendlich viele werden, über alle n wachsen, und addieren sie zu einer Gesamtlaufstrecke (in Zenons Sinne werden nur Größen betrachtet, die Größe und Länge haben und weiter teilbar sind). Frage: Hat diese Laufstrecke eine endliche Länge? (Trägt etwas, was Größe hat zur Verlängerung der Gesamtlaufstrecke bei?)

Beispiel: Wir haben eine vorgegebene Laufstrecke als Anfangswert: a = 90 m bis zur Schildkröte. Dort angekommen haben wir eine neue vorgegebene Strecke von 9 m = ${1\over10} \cdot$ 90 m, die formen wir um und geben dem Ergebnis einen Namen:

1. Folgerung

$\frac {9 m}{90 m} = \frac{1}{10}= q$ .

Wir haben mit Absicht q so benannt, dass 0

Die nächste Strecke wird 0,9 m lang sein, oder:

$\frac {1}{100} \cdot 90 m = \frac{1}{10} \cdot \frac {1}{10} \cdot 90 m = q \cdot q \cdot 90 m = q^2 \cdot 90 m$ .

Wir folgern: die nächste Teilstrecke ist $q^3 \cdot 90 m$ lang, also 0,09 m. So finden wir als Laufstrecke S (n) für $n \in \mathbb {N}$ :

2. Folgerung

$S(n) {=} a+a \cdot {q^1+a} \cdot q^2+a \cdot q^3 {+...+}a \cdot q^{n-1}=\sum_{k=1}^n a\cdot q^{k-1}$

Das n-1 bedeutet, dass $a = a \cdot q^0 = a \cdot \frac {q} {q} = a \cdot 1$ ist, und beispielsweise $a \cdot q^3$ schon das (n=) vierte Intervall ist.

Und nach Umformung, weil wir unter geometrische Reihe nachschlagen:

Definition

$S(n) = a \cdot \frac{1-q^n} {1-q}$

für n=3 beispielsweise:

$S(3)= 90 m\cdot \frac{1- \frac {1}{10}^3} {1- \frac {1} {10}} =90 \cdot (1-10^{-3}) \cdot \frac {10} {9}=$

$=100 m \cdot(1-0{,}001) = 100 m - 0,1 m = 99,9 m$ .

Erläuterung

Nun machen wir n groß und sehen, dass $q^n$ kleiner wird, ja wir können sogar einen Grenzwertübergang (Limes) machen und sagen $q^n$ wird beliebig klein, unendlich klein, denn wenn es uns noch nicht klein genug ist, wählen wir ein größeres n, bis es kleiner als unsere Vorgabe ( $\epsilon$ , wir nennen es jetzt epsilon), ist. Und dann verkleinern wir unsere Vorgabe weiter und finden trotzdem noch ein größeres n, so dass $q^n$ auch kleiner als diese neue Vorgabe wird und können dies unendlich fortsetzen, also kann die Vorgabe gar nicht klein genug angegeben werden, als dass wir $q^n$ mit entsprechendem n nicht noch kleiner kriegten. Also wir sagen, wenn n gegen unendlich strebt, wird $q^n$ unendlich klein und strebt gegen Null, also verschwindet:

Definition

$q^n$ < $\epsilon$

nach n aufgelöst, indem wir logarithmieren: (Das Zeichen < dreht sich um, wenn wir durch $\log \frac {1} {10}$ dividieren. Wegen 0\log\frac {1} {10}= - 1 < 0, also negativ)

3. Folgerung

n > $\frac {\log \epsilon}{\log \frac {1}{10}}$ ;

wenn wir also n größer als dieses Ergebnis machen, kommen wir mit $q^n$ unter die Vorgabe $\epsilon$ .

Beispiel: Wählen wir $\epsilon$ = 0,001, so erhalten wir n > 3 und müssen n = 4 wählen, um $\epsilon$ zu unterbieten.

Satz

Für $n \rightarrow \infty$ gilt

\lim_{n\to\infty} S(n) = S= a \cdot \frac{1}{1-q}

;

Hier kommt zum ersten Mal das Symbol

\infty

vor , es ist aber nur ein Symbol. Wir rechnen weiterhin mit endlichen Größen, und auch wenn sie weiter Größe haben, vergrößern sie nicht mehr die Rennstrecke. Lediglich wenn obige Definition erfüllt ist, sagen wir, dass wir

q^n

weglassen. Beispiel: Wir setzen ein und sehen, Achilles' Laufstrecke bis zur Schildkröte endet und zwar im Endlichen bei dem Wert:

S= a \cdot \frac{1}{1-q} = 90 m\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}} = 90 m\cdot \frac {1}{\frac{9}{10}} = 90 m \cdot \frac {10}{9} = 100 m

4. Folgerung

Also für Achilles geht diese Art von Rennen nur 100 Meter weit, und wenn er nicht stehen bleibt, ist er nach beispielsweise 102 Metern nicht mehr hinter der Schildkröte sondern 1,80 Meter vor ihr.

Ergebnis:

Die Schildkröte führt im Rennen natürlich nur auf zehn Metern, dann wird sie von Achilles eingeholt. Obwohl wir nur von Dingen mit Größe handelten, sehen wir, dass sie keinen Beitrag liefern, der das Rennen jenseits der hundert Meter ausdehnt. Ob Achilles die Schildkröte nun auch real einholt, wissen wir nicht.

Kritik des infinitesimalen Ansatzes

Das Paradoxon ist damit in einer Weise gelöst, die es seit dem 19. Jahrhundert gibt, und zwar genauer seit dem Grenzwertbegriff von Cauchy und Weierstraß. Zenon hätte folgendes auszusetzen:

Er lässt nur teilbares zu, also endliches. Ebensowenig Unendliches als Eigenschaft.
Vom Grenzwert sagt er explizit, dass er nicht zur Verfügung steht: Das Problem ist nicht vom Ziel her zu behandeln.
Die Bewegungen der beiden Läufer stellen je eine Größe dar, die die jeweilige Laufstrecke verändert. Die Strecke zwischen den beiden Läufern unterliegt aber selbst auch einer Veränderung. Wir haben sozusagen Veränderung und Veränderung von Veränderung, Zenon betrachtet aber nur eine einfache Änderung.

Kinematischer Ansatz

Der Ansatz v = s/t liefert für die Geschwindigkeit in einem ausdehnungslosen Augenblick den Wert v = 0/0 , der unbestimmt bleibt, was andeutet, dass der Pfeil (bzw. Achilles) keine Geschwindigkeit hat, sondern in Ruhe bleibt. Um aber die Geschwindigkeit 0 zu erzielen, muss t einen positiven Wert haben und v = 0/t = 0. Vlastos (´´ A Note on Zeno's Arrow ´´) vergleicht dies mit der Frage, wie ein Kreis gekrümmt sein kann da, er doch aus Punkten besteht und diese sind nicht gekrümmt.

Die Aufgabe mit Achilles wird in der Uni gestellt und man stößt dabei auf einen weiteren Ansatz, der allerdings das Paradoxon an sich ein wenig außer acht lässt:

In einer gegebenen Zeit t kommt Achilles 90 Fuß weit, die Schildkröte 9 Fuß. Wir können deshalb die Formel $v = \frac{s}{t}$ für Achilles $v_A = \frac{90}{t}$ und die Schildkröte $v_S = \frac{9}{t}$ aufstellen, d.h. $v_A = 10 \cdot v_S$ .

Weiterhin erhalten wir als Ortsgleichungen s(t): $s_A(t) = 10 \cdot v_S \cdot t$ sowie $s_S(t) = v_S \cdot t + 90$ . Den Zeitpunkt, an dem Achilles die Schildkröte überholt, erhalten wir durch Gleichsetzen beider Ortsfunktionen:

Aus.png

$10 \cdot v_S \cdot t = v_S \cdot t + 90$

$9 \cdot v_S \cdot t = 90$

$t = \frac{90}{9 \cdot v_S} = \frac{10}{v_S}$

Einsetzen in beide Bewegungsgleichungen ergibt den Überhol-Ort, der für Achilles als auch die Schildkröte gleich sein muss, wenn unsere Theorie stimmt:

$s_A\left(\frac{10}{v_S}\right) = 10 \cdot v_S \cdot \frac{10}{v_S} = 100$

$s_S\left(\frac{10}{v_S}\right) = v_S \cdot \frac{10}{v_S} + 90 = 100$

Damit liefern beide Bewegungsgleichungen das gleiche Ergebnis, d.h. Achilles überholt die Schildkröte nach 100 Fuß.

Kontinuierlicher Ansatz

Wir betrachten die Veränderung im endlichen Rennen von Achilles und der Schildkröte als Vermehrung oder Verminderung und sehen von Positionen und im allgemeinen von Zeitpunkten der beiden ab. Wir betrachten eine willkürliche Einheit $R^i$ für die Veränderung (wie die Dehnung eines Gummibandes). Verminderung legen wir das Zeichen - bei, auf die Einheit bezogen $-R^i$ .

$R^i$ ist eine Zahlgröße, mit der wir das Rennen messen. Z.B für $R^i=9m - 0,9m = 8,1m$ überholt Achilles die Schildkröte, wenn er zehnmal so schnell läuft wie sie, man das Rennen mit einem Unterschied von 90 Metern beginnt und Verminderung annimmt, nach 12 Einheiten. $89,1=11R^1<90<12R^i=97,2$ In einer Einheit läuft Achilles 9 Meter, die Schildkröte 0,9 Meter. Danach, $n>12$ , wird sich der Unterschied im Rennen vermehren. Das Paradox geht über in folgendes

Der Punkt des Überholens ist ungenau bestimmt oder
Der Punkt des Überholens ist beliebig genau bestimmt
Dem Punkt des Überholens kann kein Maß oder nur ein jedoch beliebig genau angenäherter Wert eines Maßes zugewiesen werden, aber
Das Rennen lässt sich umkehren, von der Einheit (z. B. der zwölften) des Überholpunktes aus beginnend.

Es läßt sich die Einheit verfeinern und induktiv aufbauen: Für eine zehnmal so kleine Einheit $R^{ii}$ würden die beiden sich nach 112 Einheiten überholen.

Exhaustion

Man kann jetzt rekursiv eine Beziehung zwischen i und

n_i

herstellen und damit eine Exhaustion durchführen. i steht für eine Unterteilung. Im Beispiel ist i+1 zehnmal so fein wie i.

n_i

ist die Anzahl der Einheit

R^i

n_{ii}

von

R^{ii}

10(n_i-1)+2=n_{i+1}

Mit der Voraussetzung

R^i=10R^{i+1}\,.

ergibt sich (

n_0=12

) die Lösung:

n_{i\to\infty}=1+ 111\dots\;

Einheit

Die Wahl der Einheit steht frei. Man kann für sie eine Reihe wählen. Insbesondere mit den Ergebnissen der Exhaustion. Man kann diese Reihen auch neutral als Zahlgrößen auffassen, indem man sie nur mit

(R^1,R^2,R^3 ...)

charakterisiert, aber auch so

(R^1+R^2+R^3 ...)

.\\ Beispiele: Für

n_0=2

R^i=81

bildet man eine Reihe S

auf die eine $S= 81 + 8,1 + 0,81 + 0,081 ...$
oder andere Art: $S'= 73 +7,3 +0,7 + (7,3 + 0,73 +0,07) + (0,73 + 0,073 +0,007)...$
oder noch andere Art: $S*= 73 + (0+ 14,6 +0,7) + (0 + 1,46 +0,07) +( 0 + 0,146 + 0,007)...$ )

Mit diesen Einheiten

R=S=S'=S*

ist das Rennen nach einer Einheit beendet.

Kriterium

Ein Kriterium für den Überholpunkt ergibt sich, wenn man bedenkt, dass in der Überholrenneinheit der Absolutbetrag der Verminderung und Vermehrung des Rennens weniger als der Betrag der Renneinheit ist. Das heißt, der Abstand ist kleiner als die Größe der absoluten Veränderung des Rennens in einer Einheit. Das n , zu dem diese Bedingung gehört, ist das des Überholpunktes.

Endliche Lösung

Wenn wir die Einheit, oder ein Vielfaches von ihr, wählen als die gesamte Vermehrung oder Verminderung des Rennens haben wir endliches Ergebnis. Zum Beispiel

R_i=90m

und

n_i=1

oder

R_{ii}=9m

und

n_{ii}=10

Zählen

Exhaustion.png So baut man substanziell das Rennen mit Zahlen als Maßeinheiten auf.

Begriffe des Zählens

Dies ist ein zählender Ansatz nach Weierstraß und er hat historisch insofern versagt, als bei einer Reihe für ln 2 (der natürliche Logharithmus von 2) die Anordnung der Elemente der Einheit eine Rolle spielt, ähnlich wie bei bedingter Konvergenz. Man müsste sich anders als heute üblich einen neuen Ansatz für einen logischen Beweis einfallen lassen.

Schluss: Dieser Ansatz zeigt, dass man eine unendliche Reihe ohne zu rechnen bilden kann.

Rückschluss

tautologie4.png

Wenn wir mit unendlich vielen Summanden als Einheit $S=R_1+R_2+R_3+\dots=81+8,1+0,81+\dots$ zählen, erreichen wir wieder das Ergebnis: Überholen nach einer Einheit $n_s=1$ . Damit haben wir einen Rückschluss auf das ursprüngliche asymptotische Problem und können noch mal den infinitesimalen Ansatz beleuchten, warum er zu einem Ergebnis kommt. Um einigermaßen mit $S$ umgehen zu können, sollten wir ihre Glieder in eine verhältnismäßige Beziehung zueinander setzen $R_i=qR_{i+1}$ . Dann können wir $S$ mit $\frac{10}{9}S$ auf Achilles Laufstrecke beziehen und mit der der Schildkröte vergleichen, $\frac{1}{9}S$ , denn das Maß der Veränderung haben wir vorher genommen. Mit den Relationen ginge das anders. Wir fanden einen Rückschluss und erhalten eine geschlossene Darstellung.

Halbordnung

Unerwähnt ist noch der Ansatz, die Maßzahlen oder besser Zahlgrößen nach Cauchy halbgeordnet zu begründen.

Logische Problematik des Paradoxons

Zenon beschreibt das Rennen zirkulär. Daraus läßt sich nur Triviales ableiten. Entweder stehen alle mit dem Abstand 0 im Ziel, oder sie haben Abstand voneinander und vom Ziel. Setzen wir in die Länge der Rennstrecke ein, so haben wir eine Gleichung mit zwei Unbekannten, von der sich auch nur Triviales aussagen läßt. Zum Beispiel ist der Abstand doppelt so groß, so ist das Rennen doppelt so lang und die Laufstrecke zum Ziel ist jeweils für beide auch doppelt so lang. Ist der Abstand ein Zehntel so lang, so ist das Rennen ein Zehntel so lang, und die Läufer müssen nur noch ein Zehntel laufen. Diese Ungewissheit füllen wir nun gerne für Zenon auf. Entweder mit einem festen Wert für die Gesamtlänge, erraten oder gemessen, mit der geometrischen Reihe, die ja nur feste Werte liefert, oder einer aus verschachtelten Intervallen gebildeten Größe, die auch immer eine feste Größe hat, nämlich eine Zahl, deren Größe davon abhängt, wann man mit ihrer Bildung abgebrochen hat. Das nennt H. Weyl eine Zahl im Werden, mit der man den Kontinuumsbrei nachbilden kann. Die geometrische Reihe enthält eine atomare Vorstellung, die messende ein Einheitsmaß. Die ratende bedient sich eines dieser dreien nach Wunsch.

Etwas formaler:
$a_{2}$ verhält sich zu $a_{1}$ wie $\frac{1}{10}$ also: $a_{2}= \frac{1}{10}a_{1}$
Für die Gesamlaufstrecke gilt: $a_{1} +a_{2} + x = G$

a_1

- >

a_2

-Wir setzen ein und addieren:

$10 \cdot a_{2}$	$+$	$a_{2}$	$+$	$x$	$=$	$G$
$a_{1}$	$+$	$\frac{1}{10}a_{1}$	$+$	$x$	$=$	$G$
$a_{1} + 10 \cdot a_{2}$	$+$	$\frac{1}{10}a_{1} + a_{2}$	$+$	$2 \cdot x$	$=$	$2 \cdot G$

Und das ist:
$2 \cdot a_{2} + 2 \cdot a_{1} + 2 \cdot x = 2 \cdot G$

Damit stimmt insbesondere:
$\frac{1}{10}a_{2} +\frac{1}{10}a_{1} + \frac{1}{10}x = \frac{1}{10}G$
und so fort.

Man sieht noch, auch x und G sind somit zirkulär definiert, und ihre Wahl ist eingeschränkt.

Mengentheorie

Die gründlichste Untersuchung stammt von A. Grünbaum (A Consistent Conception of the Extended Linear Continuum as Agregate of Unextended Elements; The Nature of Time; Modern Science and Zenos's Paradoxes). Er unterscheidet einen „bewusstseinsabhängigen“ oder „subjektiven“ Zeitbegriff und einen "`bewusstseinsunabhängigen“' oder „objektiven“. In der ersteren Zeit fließt das „Jetzt“, wie bei Aristoteles, und teilt den Zeitablauf in die ständig erreichte Zukunft und die ständig verfließende Vergangenheit, in der das „Jetzt“ versinkt. In der zweiten „objektiven“ kann man klar zwischen früher und später unterschieden, aber es gibt in ihr weder Zukunft, Gegenwart noch Vergangenheit. Die „objektive“ Zeit kann besser in ausdehnungslose Punkte der Gleichzeitigkeit eingeteilt werden. Die „Jetzt“- Punkte der „subjektiven“ Zeit lassen eine quasigleichzeitige Wahrnehmung im Zeitablauf zu. Wie eine Abfolge von Tönen als Einheit, als eine Melodie, wahrgenommen wird.

Ein Intervall nicht aber seine Elemente besitzt Ausdehnung, ist schließlich Grünbaums Ergebnis, und ein ausgedehntes Intervall enthält eine überabzählbare Unendlichkeit ausdehnungsloser Elemente.

Zenons (vermutliche) Lösung

Wenn die Schildkröte eine Strecke läuft, so läuft Achilles eine, die 10 Schildkrötenstrecken enthält. Holt er sie ein, bleiben 9 (10 - 1) Schildkrötenstrecken für den Abstand zwischen den Startlinien. D. h.: Die Schildkröte läuft 90 m : 9 = 10 m weit, und Achilles 100 m bis sie einander treffen.

Zitate von Zenon

Der Sprecher ist Simplizius, der Zenon, teilweise wörtlich, zitiert. Das „Eine“ ist die Einheit.

Zenons Gedanke ist: Wie weit die Division auch fortschreitet, was bleibt hat stets Größe, ist daher weiter dividierbar, hat also Teile, ist also keine wirkliche Einheit. Eine andere Äußerung Zenons: Wenn jemand ihm wirklich erklären kann was die Einheit (das Eine) sei, so wäre er in der Lage, Vielheit zu erklären. Eine wirkliche unteilbare Einheit muss also ohne Größe sein. Was aber ohne Größe ist, macht beim Hinzufügen nichts größer, noch beim Wegnehmen kleiner, erscheint also selbst als nichts.

1. Das der Größe nach Unendliche legt Zenon vorher nach demselben Beweisgang dar. Er zeigt zuerst, dass das Seiende, wenn es keine Größe besitzt, es auch nicht sei. Dann fährt er so fort:“ Wenn es aber ist, so muss notwendigerweise ein jeder Teil eine gewisse Größe und Dicke und Abstand, der eine vom anderen haben. Und von dem vor jenem liegenden Teile, d.h. dem Teil jenes Teiles, gilt dieselbe Behauptung. Auch dieser wird nämlich Größe haben, und es wird ein anderer vor ihm liegen. Die gleiche Behauptung gilt nun ein für allemal. Denn kein derartiger Teil desselben (des Ganzen) wird die äußerste Grenze bilden, und nie wird der eine ohne Verhältnis zum anderen sein. Wenn also viele Dinge sind, so müssen sie notwendig zugleich klein und groß sein: so klein, dass sie keine Größe haben; so groß, dass sie unbegrenzt viele sind.“

2. Zenon will zeigen: „Wenn vieles ist, muss dies zugleich groß und klein sein, und zwar groß bis zur Grenzenlosigkeit und klein bis zur Nichtigkeit.“ Ein Ding, das weder Größe noch Masse besitzt kann überhaupt nicht sein. „Denn würde es zu einem anderen Seienden zugefügt, so würde es dieses um nichts vergrößern. Denn wird etwas, dessen Größe nichts ist, einem anderen hinzugefügt, so kann dieses an Größe nichts gewinnen. Und so wäre denn bereits hiernach der Zuwachs gleich nichts.. Wenn ferner durch Abziehen von etwas das andere um nichts kleiner und andererseits durch Zufügen nicht größer werden wird, so war offenbar das Zugefügte wie das Abgezogene gleich nichts.“ Und dies führt Zenon nicht aus, um das Eine aufzuheben, sondern weil ein jedes der vielen und unendlichen Dinge Größe haben muss. Denn vor jedem Einzelnen, das man nimmt, muss stets wieder irgendein anderes sein wegen der Teilung ins Grenzenlose. Dies legt er dar, nachdem er zuvor gezeigt hat, dass nichts Größe besitzt, weil jedes der vielen Dinge mit sich selbst identisch und eins ist.

3. „Wenn Vieles ist, so müssen notwendig gerade soviele Dinge sein, als wirklich sind, nicht mehr, nicht minder. Wenn aber soviele Dinge sind, als eben sind, so dürften sie (der Zahl nach) begrenzt sein.“ (Anmerkung: hier ist vieles ein Individualbegriff, vieles aus genau soundsovielen Dingen, der mathematischen Logik nicht zugänglich, weil individuell)

„Wenn Vieles ist, so sind die seienden Dinge (der Zahl nach) unbegrenzt. Denn stets sind andere zwischen den seienden Dingen und wieder andere zwischen jenen. Und somit sind die seienden Dinge (der Zahl nach) unbegrenzt."(Anmerkung: Hier ist Vieles ein Allgemeinbegriff für Alles und Gattungsbegriff für die grenzenlos großen Dinge, mit limitativer Verneinung (also setzt sich nicht aus größenlosen Dingen zusammen) für grenzenlos kleines.)

Literaturhinweise

Diels-Kranz: Die Fragmente der Vorsokratiker. 6. Auflage, Berlin, 1952.
Oskar Becker: Grundlagen der Mathematik : in geschichtlicher Entwicklung. Frankfurt a.M.: Suhrkamp, 1975. (Suhrkamp-Taschenbücher Wissenschaft; 114). ISBN 3-518-27714-6.
Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach. ISBN 3-608-94338-2. (In diesem Buch sind Achilles und die Schildkröte die Protagonisten der Dialoge zwischen den Kapiteln.)

Weblinks

Aufsatz über Zenon Auf 6 Seiten das Thema erschöpfend darstellend von Fritz von Klein
Peter Lynds Zeno's Paradoxes - A Timely Solution

Links zu unendlich kleinen Größen

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