Modus ponens

Modus ponens (lat. ponere "stellen, setzen": setzende Schlussfigur, d.h. Schlussfigur, bei der eine positive Aussage hergeleitet wird), richtiger: Modus ponendo ponens (in Abgrenzung zum Modus tollendo ponens) ist eine Schlussfigur, die in vielen logischen Systemen (siehe Logik, Kalkül) als Schlussregel verwendet wird. Sie erlaubt es, aus zwei Aussagen der Form Wenn A, dann B und A eine Aussage der Form B herzuleiten.

Der vollständige lateinische Name, Modus ponendo ponens, "Schlussfigur (modus), die durch das Setzen (ponendo) einer Aussage eine andere Aussage setzt (ponens)", lässt sich so erklären, dass bei gegebener erster Prämisse, "Wenn A, dann B", durch das "Setzen" (Annehmen) der zweiten Prämisse, A, der aus beiden folgende Satz B "gesetzt" (hergeleitet) wird.

Formulierung

Aus den Prämissen

und

A →B

folgt die Conclusio

Beispiel: Aus den Voraussetzungen Es regnet und Wenn es regnet, wird die Straße nass folgt logisch: Die Straße wird nass.

Logische Formen des Modus Ponens

Als Aussage

Obwohl der Modus ponendo ponens eine Schlussregel, also ein metasprachliches Konzept ist, wird die Bezeichnung "Modus ponens" gelegentlich auch für objektsprachliche Ausdrücke mit der folgenden Gestalt verwendet:

(A ∧ (A → B)) → B

Da aber Schlussregeln und Aussagen ganz unterschiedliche Konzepte sind, ist es wissenschaftlich eher unglücklich, sie mit derselben Bezeichnung zu benennen. Generell ist die Vermischung von Objekt- und Metasprache problematisch und sollte normalerweise unterbleiben.

Als Subjunktionsbeseitigungsregel

Als Abtrennungsregel in logischen Kalkülen (auch: Beseitigungsregel der Subjunktion (Implikation) in den Systemen des natürlichen Schließens) lautet er so:

→ B: (A → B), A ⇒ B

Als Schnittregel

In metalogischer Fassung ist es die Schnittregel:

\qquad\frac{\Gamma\| A\qquad A, \Delta\| B}{\Gamma, \Delta\| B}

(Hier wird der Doppelstrich || für die Abschließbarkeit von Dialogstellungen benutzt.)

Dass die Schnittregel in den Gentzentypkalkülen gültig ist, besagt der Gentzensche Hauptsatz.

Weblinks

metamath link

Siehe auch

Modus tollendo tollens - oft unexakt zu Modus tollens abgekürzt
Modus tollendo ponens
Modus ponendo tollens
Modus barbara

Logik