Abtastung (englisch sampling) ist die Registrierung von Messwerten zu diskreten, meist äquidistanten Zeitpunkten. Aus einem zeitkontinuierlichen Signal wird so ein zeitdiskretes Signal gewonnen.

Die Anzahl der Abtastungen pro Sekunde wird Abtastrate genannt. Bei der digitalen Telefonie (ISDN) beträgt die Abtastrate beispielsweise 8 kHz.

Die Digitalisierung eines analogen Signals erfolgt in zwei Schritten. Nach der Abtastung erfolgt die Quantisierung des zeitdiskreten aber noch wertkontinuierlichen Signals. Dadurch entsteht ein zeit- und wertdiskretes Signal.

Modell der Abtastung

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Das Grundprinzip der Abtastung ist, dass eine physikalische Größe (z.B. ein Signal in Form einer elektrischen Spannung) über einen gewissen Zeitraum akkumuliert wird und dann der akkumulierte Wert in eine digitale Darstellung des Messwertes umgewandelt wird. Dies geschieht dann periodisch mit der Abtastfrequenz

Ideale Abtastung

Für eine einfachere mathematische Beschreibung ist die ideale Abtastung definiert. Hier wird das Signal nicht über einen gewissen Zeitraum um den Abtastzeitpunkt akkumuliert, sondern exakt zum Abtastzeitpunkt nT ausgewertet.

Mathematisch lässt sich dies darstellen, indem man das Signal s(t) mit dem Dirac-Kamm (einer Folge von Dirac-Stößen) multipliziert:

Dirac-comb_-_Sampling.png

Das abgetastete Signal lautet dann

$s\_a\; (t)\; =\; s(t)\; \backslash cdot\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; \backslash delta(t\; -\; n\; T)$.

Für das Spektrum (also die Fouriertransformierte) des Signals erhält man

$S\_a\; (f)\; =\; S\; (f)\; *\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; \backslash delta(f\; -\; n/T)$.

Das Spektrum ist also das Spektrum der nicht abgetasteten Funktion, welches aber periodisch mit der Periode 1/T wiederholt wird (Faltungseigenschaft des Dirac-Impulses). Daher ist es wichtig, dass das Spektrum der Originalfunktion maximal $2\; \backslash cdot\; 1/T$ breit ist, damit sich die verschobenen Spektren nicht überlappen. Ist dies der Fall, so ist das Signal nach idealer Tiefpass-Filterung aus dem Spektrum rekonstruierbar (vgl. Nyquist-Shannon-Abtasttheorem). Andernfalls tritt Aliasing auf.

Reale Abtastung

In der Realität sind zwei Bedingungen der idealen Abtastung nicht einhaltbar:

1. Es ist nicht möglich, ideale Dirac-Stöße zu erzeugen. Das Signal wird vielmehr über einen Zeitraum um den eigentlichen Abtastzeitpunkt akkumuliert, z.B. über eine Torschaltung. Dies nennt man auch natürliche Abtastung. Alternativ wird eine Abtast-Halte-Schaltung eingesetzt.
2. Die perfekte Rückgewinnung des Signals aus seinem Spektrum erfordert einen idealen Tiefpass, welcher ebenfalls nicht realisierbar ist.

Diesen Problemen kann man wie folgt begegnen:

zu 1.: Beim Einsatz einer Sample- and Hold-Schaltung wird der Dirac-Kamm durch eine Rechteckimpulsfolge (mit Rechteckenimpulsen der Breite $t\_0$ , dann dargestellt mit der Faltungseigenschaft des Dirac-Stoßes) ersetzt. Man erhält:

$f\_a\; (t)\; =\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; f(n\; T)\backslash cdot\; rect(\backslash frac\{t-n\; T\}\{t\_0\})\; =\; rect(\backslash frac\{t\}\{t\_0\})\; *\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; f(t)\; \backslash delta(t\; -\; n\; T)$

Und als Spektrum folgt

$F\_a\; (f)\; =\; t\_0\; \backslash frac\{sin(\backslash pi\; f\; t\_0)\}\{\backslash pi\; f\; t\_0\}\; \backslash cdot(f)\; *\; 1/T\; \backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; \backslash delta(f\; -\; nf)$.

Dies ist das Spektrum der idealen Abtastung, allerdings gewichtet mit der si-Funktion (die Fouriertransformierte der Rechteckfunktion). Dies bedeutet eine Verzerrung des Signals, welche nur durch ein Entzerrfilter behoben werden kann. Eine solche Verzerrung tritt bei der natürlichen Abtastung nicht auf.

zu 2.: Um auch mit einem nicht idealen Tiefpass das Signal aus dem Spektrum zurückzugewinnen kann man einfach die Abtastfrequenz erhöhen (Überabtastung). Dies bedeutet nämlich, dass die Einzelspektren weiter auseinander rücken und so das Tiefpassfilter weniger steil sein muss.

Andere Schreibweise

Daten zu Signal

Im einfachsten Fall wird die Umwandlung einer Folge reeller Zahlen, also eines zeitdiskreten Signals, mittels einer einzigen Kernfunktion vorgenommen. D.h. zu einer Folge $(c\_n)\_\{n\backslash in\backslash Z\}$ wird mittels einer Funktion h und einem Zeitschritt T die, im weitesten Sinne interpolierende, Funktion

$a(t):=T\backslash cdot\; \backslash sum\_\{n\backslash in\backslash Z\}\; c\_n\backslash cdot\; h(t-nT)$

gebildet. Deren Fourier--Transformierte ist

$$

A(f):=\mathcal F_{Hz}(a)(f) =T\sum_{n\in\Z} c_n\int_\R h(t-nT)e^{-i(2\pi f)t}\;dt =T\sum_{n\in\Z} c_n e^{-i(2\pi f)nT} H(f) , wobei H(f) die Fourier-Transformierte von h(t) ist.

Signal zu Daten

Ein realistischeres Modell der Messung eines zeitveränderlichen Prozesses ist die Bildung eines gewichteten Mittelwertes über einen bestimmten Zeitraum. Dies kann mathematisch durch die Faltung mit einer Gewichtsfunktion w realisiert werden. Sei x(t) das zu messende Signal und v(t) der gemessene Wert zum Zeitpunkt t (der z.B. dem Schwerpunkt der Gewichtsfunktion zugeordnet wird), so gilt

$v(t)=(w*x)(t)=\backslash int\_\backslash R\; w(s)\backslash cdot\; x(t-s)\backslash ;ds$.

Unter der Fourier-Transformation geht die Faltung in die Multiplikation über. Seien W, V und X die Fourier-Transformierten von w, v und x, dann gilt V(f)=W(f)X(f).

Signal-Daten-Signal

Bestimmt man nun eine Folge von Messwerten mit Zeitschritt T, $c\_n=v(nT)$, um diese in die Interpolationsvorschrift einzusetzen, so erhalten wir eine Rekonstruktionsvorschrift

$a(t)=\backslash sum\_\{n\backslash in\backslash Z\}\; v(nT)\backslash ;h(t-nT)=\backslash sum\_\{n\backslash in\backslash Z\}\; (x*w)(nT)\backslash ;h(t-nT)$.

Um die Güte dieser Vorschrift einzuschätzen kann man die Rekonstruktion auf einfache frequenzbeschränkte Signale testen. Dies kann durch die Bestimmung der Fourier-Transformierten abgekürzt werden. Dazu ist jedoch die Fourier-Reihe

$T\backslash sum\_\{n\backslash in\backslash Z\}\; v(nT)\; e^\{-i(2\backslash pi\; f)nT\}$

genauer zu bestimmen. Nach der Poissonschen Summenformel ist diese periodische Funktion identisch zur Periodisierung von V(f). Sei $f\_s=1/T$ die Abtastfrequenz, dann gilt

$$

T\sum_{n\in\Z} v(nT) e^{-i(2\pi f)nT} =\sum_{k\in\Z}V(f+k\cdot f_s) =\sum_{k\in\Z}X(f+k\cdot f_s)\cdot W(f+k\cdot f_s). Zusammenfassend gilt also

$A(f)=\backslash left(\backslash sum\_\{k\backslash in\backslash Z\}X(f+k\backslash cdot\; f\_s)\backslash cdot\; W(f+k\backslash cdot\; f\_s)\backslash right)\backslash ,\backslash cdot\backslash ,H(f)$.

Eine Frequenzkomponente um die Frequenz f erleidet somit eine Verzerrung mit dem Faktor $W(f)\backslash cdot\; H(f)$ und ein Aliasing der Stärke $W(f)H(f+kf\_s)$ um die Frequenz $f+kf\_s$ bei $k\backslash ne\; 0$.

Um Basisbandsignale möglichst gut zu approximieren, ist es erforderlich, dass $W(f)\backslash cdot\; H(f)\backslash approx\; 1$ in einer Umgebung von f=0 und $H(f+kf\_s)\backslash approx\; 0$ für dieselben f und für alle $k\backslash ne\; 0$ gelten. Im Rahmen einer mathematisch exakten Theorie sind diese Forderungen erfüllt und alle Operationen wohldefiniert, wenn

• B>0 für alle f gilt und

• $E(f):=\backslash sum\_\{k\backslash in\backslash Z\}|W(f)H(f+kf\_s)-\backslash delta\_\{0,k\}|^2$ (mit dem Kronecker-Delta) in f=0 stetig ist und dort eine Nullstelle hat.

Man erhält dann in der Betragsquadratnorm des Funktionenraums L² für eine Basisbandfunktion x(t) mit höchster Frequenz $f\_H$ nach der Parseval-Identität eine Abschätzung des relativen Fehlers, d.h. des Signal-Rausch-Verhältnisses, als

$\backslash |a-x\backslash |\_2^2=\backslash |A-X\backslash |\_2^2\backslash le\; \backslash sup\_\{f\backslash in*\}E(f)\backslash ;\backslash |x\backslash |\_2^2$

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Beispiele: Sind w und h Rechteckfunktionen mit Breite T zentriert um 0, so ist

$W(f)=H(f)=\backslash operatorname\{sinc\}(T\backslash ,f)=\backslash frac\{\backslash sin(\backslash pi\; T\backslash ,\; f)\}\{\backslash pi\; T\backslash ,\; f\}$

und es gilt $E(f)=1-\backslash operatorname\{sinc\}(T\backslash ,f)^2$.

Sind umgekehrt w und h die Kardinalsinusfunktionen $\backslash operatorname\{sinc\}(T\backslash ,f)$, so sind deren Fourier-Transformierte die entsprechenden Rechteckfunktionen $\backslash operatorname\{rect\}(T/2\backslash ,f)$ und die sich ergebende Rekonstruktionsformel ist die Kardinalreihe des Whittaker-Kotelnikow-Nyquist-Shannon-Abtasttheorems.

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In jedem Fall führen Funktionen mit Frequenzkomponenten oberhalb $\backslash frac12\; f\_s$ zu Aliasfehlern im Frequenzbereich $\backslash leftf\_s,\backslash ,\backslash frac12\; f\_s\backslash right$, die Frequenzschranke des Abtasttheorems ist also notwendig, aber keinesfalls hinreichend für eine fehlerarme Rekonstruktion.

Daten-Signal-Daten

In dieser Richtung wird die "interpolierende" Funktion a(t) abgetastet. Es ergibt sich also

$d\_n:=v(nT)=(w*a)(nt)=T\backslash sum\_\{k\backslash in\backslash Z\}c\_k\; \backslash int\_\backslash R\; w(s)\; h(nT-kT-s)\backslash ,ds=T\backslash sum\_\{k\backslash in\backslash Z\}c\_k\; \backslash ;(w*h)(nT-kT)$.

Für die Fourier-Reihen erhält man daraus

$$

\sum_{n\in\Z}d_ne^{-i (2\pi n) Tf} =T\sum_{k\in\Z}c_k e^{-i (2\pi k) Tf}\cdot\sum_{n\in\Z}(w*h)(nT)e^{-i (2\pi n) Tf} Nach der Poissonschen Summenformel gilt in diesem Fall

$$

T\sum_{k\in\Z} (w*h)(nT) e^{-i (2\pi n) Tf}=\sum_{n\in\Z} W(f-nf_s)\cdot H(f-nf_s) . Soll die Fourier-Reihe der Folge c und damit die Folge erhalten bleiben, so muss diese Summe überall den Wert 1 haben. Das Maximum der Abweichung davon gibt auch in diesem Fall eine Schranke für den relativen Fehler bei der Datenübertragung.

$E(f)=\backslash left|\backslash sum\_\{n\backslash in\backslash Z\}\; W(f-nf\_s)\backslash cdot\; H(f-nf\_s)-1\backslash right|$ und $\backslash |d-c\backslash |\backslash le\backslash sup\; E(f)\backslash ;\backslash |c\backslash |$.

Aus mathematischer Sicht müssen die Funktionen W und H wieder die oben angegebene Schranke der Periodisierung des Betragsquadrats einhalten.

Siehe auch

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Abtasttheorem, Sampling (Musik); für Filmabtastung: Filmabtaster

Weblinks

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• Diskrete Verarbeitung kontinuierlicher Signale
• Unser: Sampling – 50 years after Shannon (PDF verfügbar)

Digitale Signalverarbeitung

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