Die absolute Konvergenz ist ein Begriff aus der Analysis und wird im Zusammenhang mit Reihen benutzt. Für die absolut konvergenten Reihen bleiben manche Eigenschaften endlicher Summen gültig, die für die größere Menge der konvergenten Reihen im Allgemeinen falsch sind.

Definition

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Eine reellwertige oder komplexwertige Reihe $\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; a\_n$ heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge $\backslash sum\_\{n=0\}^\{\backslash infty\}\; |a\_n|$ konvergiert.

Beispiele

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• Die alternierende harmonische Reihe $\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\}\{n\}$ ist konvergent. Sie ist aber nicht absolut konvergent, denn beim Nachprüfen der definierenden Eigenschaft erhält man $\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash left|\; \backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\}\{n\}\; \backslash right|\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\backslash frac\{1\}\{n\}$, also die gewöhnliche harmonische Reihe. Diese ist divergent.
• Die Reihe $\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\}\{n^2\}$ ist wegen $\backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash left|\backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\}\{n^2\}\backslash right|\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$ absolut konvergent.
• Die Potenzreihe der Exponentialfunktion $\backslash exp(z)\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\{\backslash infty\}\; \{z^n\; \backslash over\; n!\}$ ist für jedes komplexe $z\backslash ;$ absolut konvergent.
• Generell gilt, dass eine reelle oder komplexe Potenzreihe innerhalb des Konvergenzradius' absolut konvergent ist.

Eigenschaften

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• Eine absolut konvergente Reihe ist konvergent. Das gilt sowohl für reellwertigeKonrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3. S 137, Satz 85 als auch für komplexwertigeKonrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3. S 410, Satz 227 Reihen. Da es außerdem Reihen gibt, welche bedingt konvergent genannt werden, die konvergent, aber nicht absolut konvergent sind, bildet die Menge der absolut konvergenten Reihen eine echte Teilmenge der Menge der konvergenten Reihen.
• Wie bei endlichen Summen kann man bei absolut konvergenten Reihen die Summanden beliebig vertauschen: Jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe $s$, d.h. jede Reihe, die durch Umordnung der Reihenglieder von $s$ entsteht, ist konvergent und konvergiert gegen den gleichen Grenzwert wie $s$.
  

Ein völlig entgegengesetzter Sachverhalt ist für eine konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihe $t$ richtig: Es existiert stets eine Umordnung von $t$, die divergiert.

Ist die Reihe $t$ reellwertig, so gilt die folgende erstaunliche, noch schärfere Aussage (Riemannscher Umordnungssatz): Zu jeder vorgegebenen Zahl $S\backslash in\backslash mathbb\{R\}\backslash cup\backslash \{\backslash pm\backslash infty\backslash \}$ existiert eine Umordnung der Reihe $t$, die gegen $S$ (uneigentlich) konvergiert. Die Begründung ist leicht anzugeben, wir beschränken uns auf den Fall $S\backslash ne\backslash pm\backslash infty$. Man ordnet die Summanden in zwei Folgen

$a\_1\backslash geq\; a\_2\backslash geq\backslash ldots\backslash geq\; a\_n\backslash geq\backslash ldots>0>\backslash ldots\backslash geq\; b\_n\backslash geq\backslash ldots\backslash geq\; b\_2\backslash geq\; b\_1$

an (Summanden, die gleich null sind, werden weggelassen). Nun addiert man so lange Folgenglieder aus $(a\_n)$, bis $S$ überschritten wird, dann (negative) Folgenglieder aus $(b\_n)$, bis $S$ wieder unterschritten wird, dann wieder aus $(a\_n)$ usw. Das Verfahren ist durchführbar, weil $\backslash sum\; a\_n$ und $\backslash sum\; b\_n$ divergieren (ansonsten wäre die ursprüngliche Reihe absolut konvergent), und die umgeordnete Reihe konvergiert gegen $S$.

Weiteres

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Manche Konvergenzkriterien für Reihen beweisen auch die stärkere absolute Konvergenz. Dazu gehören das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium.

Verallgemeinerungen

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Der Begriff der absoluten Konvergenz lässt sich auf normierte Räume verallgemeinern. Gegeben sei eine Folge $(x\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$ von Elementen eines normierten Raumes $X$. Die entsprechende Reihe $(s\_n)\_\{n\backslash in\backslash N\}$ wird durch

$s\_n:=\backslash sum\_\{\backslash nu=1\}^\{n\}x\_\backslash nu$

definiert. Die Reihe heißt absolut konvergent, wenn $\backslash sum\_\{\backslash nu=1\}^\{\backslash infty\}\backslash |x\_\backslash nu\backslash |$ konvergiert Avner Friedman: Foundations of Modern Analysis, Dover, new York 1970. ISBN 0-486-64062-0. S 126, Definition 4.1.7.

Ist $X$ ein Banachraum, also vollständig, so ist jede absolut konvergente Reihe auch konvergent Avner Friedman: Foundations of Modern Analysis, Dover, new York 1970. ISBN 0-486-64062-0. S 126, Theorem 4.1.2.

In beliebigen vollständigen metrischen Räumen gilt ein verwandtes Resultat. Eine Folge $\backslash left(s\_n\backslash right)\_\{n\backslash in\backslash N\}$ ist zumindest dann konvergent, wenn die Summe

$\backslash sum\_\{\backslash nu=1\}^\{\backslash infty\}\; d\backslash left(s\_\{\backslash nu-1\},s\_\{\backslash nu\}\backslash right)$

konvergiert. Da in obigem Beispiel ja $d\backslash left(s\_\{\backslash nu-1\},s\_\{\backslash nu\}\backslash right)=\backslash |x\_\backslash nu\backslash |$ ergibt sich die absolute Konvergenz daraus als Spezialfall.

Quellen

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Folgen und Reihen

Absolute convergence | Convergencia absoluta | Convergence absolue