In der Mathematik tritt der Begriff Abgeschlossenheit in mehreren Bedeutungen auf, die alle in etwa besagen, dass das betreffende Objekt mit den jeweils betrachteten Mitteln nicht erweitert werden kann. Eine Abstraktion dieser Erweiterungsprozesse ist der Begriff des Hüllenoperators.

Abgeschlossene Menge

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Ist M eine Teilmenge eines topologischen Raums A, dann heißt M abgeschlossen, wenn ihr Komplement A\M eine offene Menge in A ist.

Für einen metrischen Raum ist folgende Bedingung äquivalent:

Eine Teilmenge M eines metrischen Raums A ist abgeschlossen, falls der Grenzwert jeder konvergenten Folge mit Werten aus M wiederum in M liegt. D.h.

ist $(a\_n)\_\{n\backslash in\backslash mathbb\{N\}\}\; \backslash subset\; M$ konvergent in A, dann ist $\backslash lim\_\{n\backslash to\backslash infty\}a\_n\backslash in\; M$

Dieser Teil sollte in den Artikel abgeschlossene Menge eingehen.

Abgeschlossen bezüglich einer Verknüpfung

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Ist * eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge A, dann heißt das, * ist eine Funktion von A×A nach A. Ist nun M eine Teilmenge von A, dann heißt M abgeschlossen bezüglich *, wenn a*b in M liegt für alle a, b aus M, wenn also * auch eine innere zweistellige Verknüpfung auf M ist.

Hat man Strukturen mit mehreren Verknüpfungen, dann hat man auch einen Begriff der Abgeschlossenheit bezüglich all dieser Verknüpfungen.

Beispiele:

• Eine Untergruppe ist eine nichtleere Teilmenge einer Gruppe (G, *), die abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung * und der Inversenbildung ist.
• Ein Untervektorraum ist eine nichtleere Teilmenge eines Vektorraums V, die abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation ist.

Die Wichtigkeit der Abgeschlossenheit bezüglich einer Verknüpfung lässt sich am besten verstehen, wenn man Beispiele betrachtet, in denen sie verletzt ist.

• So ist (N, +) als Unterstruktur der Gruppe (Z, +) nicht abgeschlossen, also keine Untergruppe. Diese Teilmenge ist zwar bzgl. der Addition abgeschlossen, nicht aber bzgl. der Inversenbildung, da für $a>0$ das Negative $-a$ eine ganze Zahl ist, die kleiner als 0 ist, also nicht in N liegt.
• Der Durchschnitt zweier Untervektorräume eines Vektorraums ist stets selbst ein Untervektorraum, jedoch ist die Vereinigung zweier Untervektorräume nicht notwendig ein Untervektorraum. Die Vereinigung ist zwar abgeschlossen bzgl. der skalaren Multiplikation, aber nicht unbedingt bzgl. der Vektoraddition.

Die Eigenschaft, dass die zweistellige Verknüpfung $*\; :\; A\; \backslash times\; A\; \backslash to\; A$ stets eindeutig bestimmte Werte in A liefert, bezeichnet man auch als Wohldefiniertheit dieser Verknüpfung.

Deduktive Abgeschlossenheit

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In der klassischen Logik bezeichnet man eine Menge F logischer Formeln als deduktiv abgeschlossen, wenn die Menge aller Formeln, die aus einer der Formeln von F logisch folgen, gerade die Menge F ergeben, d.h.

$Cn(F)\; =\; F$

wobei $Cn$ die so genannte Inferenzoperation ist, d.h. diejenige Operation, die eine Formelmenge F auf die Menge von Formeln abbildet, die logisch aus F folgt.

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