Die ADM-Masse (nach R. Arnowitt, S. Deser und C. Misner 1961) ist eine Massendefinition basierend auf der Allgemeinen Relativitätstheorie. Anwendbar ist sie (in ihrer ursprünglichen Form) nur für asymptotisch flache Raumzeiten.

Definition

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Sei $M$ eine asymptotisch flache Riemannsche Mannigfaltigkeit (i.e. ein Raum, dessen Krümmungstensor im Unendlichen verschwindet) mit Metrik $g$. Dann ist die ADM-Masse gegeben durch

$m\_\{ADM\}(M,g):=\; \backslash lim\_\{R\backslash to\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{16\backslash pi\}\; \backslash int\_\{\backslash partial\; B\_R\}\; \backslash limits\; (D\_\{\backslash mu\}\; g\_\{\backslash nu\; \backslash nu\}-\; D\_\{\backslash nu\}\; g\_\{\backslash nu\backslash mu\})\backslash ,\backslash mathrm\{d\}n^\{\backslash mu\}$,

Dabei ist $B\_R$ ein dreidimensionaler Ball mit Radius $R$ und $\backslash partial\; B\_R$ seine Oberfläche, $n$ die Oberflächennormale und $D\_\{\backslash mu\}$ die kovariante Ableitung, die für ein Vektorfeld $A$ definiert ist als

$D\_\{\backslash mu\}\; A^\{\backslash nu\}\; =\; \backslash partial\_\{\backslash mu\}\; A^\{\backslash nu\}\; +\; \backslash Gamma^\{\backslash nu\}\_\{\backslash mu\; \backslash lambda\}\; A^\{\backslash lambda\}$

Beispiel

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Als Beispiel betrachten wir die Schwarzschild-Lösung der Einsteingleichung für $t=0$:

Das Ergebnis für $m\_\{ADM\}$ entspricht in diesem Fall gerade $M$, der Masse des schwarzen Lochs. Man beachte, dass für den Energie-Impuls-Tensor $T\_\{\backslash mu\; \backslash nu\}=0$ gilt, da wir eine Vakuumlösung betrachten.

Literatur

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• R. Arnowitt, S. Deser, C. Misner: Coordinate Invariance and Energy Expressions in General Relativity, Phys. Rev. 122 (1961) 997-1006
• R. M. Wald: General Relativity

Siehe auch

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• Allgemeine Relativitätstheorie
• Masse (Physik)

Allgemeine Relativitätstheorie

ADM energy