En sammensat funktion er en matematisk funktion som er dannet ved at lade en den afhængige værdi af én funktion indgå som den uafhængige variabel i en anden funktion. Tilsammen udgør denne sammenstilling én "ny" funktion, som siges at være sammensat af de to oprindelige funktioner. Funktionen $h$ siges at være sammensat af funktionerne $f$ og $g$ (i nævnte rækkefølge), hvis

$h(x)\; =\; f(g(x))$

Notation

---

Matematikere bruger en særlig notation for sammensatte funktioner. Med denne notation skrives ovenstående eksempel som $h(x)\; =\; f(g(x))\; =\; (f\; \backslash circ\; g)(x)$ — det der står efter sidste lighedstegn, læses som f bolle g af x.

I midten af det 20. århundrede mente nogle matematikere dog at det er forvirrende, at den funktion man først bruger, står sidst i ovenstående skrivemåde. De forsøgte at introducere en notation hvor $f(x)$ skulle skrives som $xf$, og $f(g(x))$ som $xgf$. Denne skrivemåde vandt aldrig nogen udbredelse, og ses i dag kun enkelte steder i ældre litteratur om emnet.

En funktion kan også være sammensat af to eller flere "eksemplarer" af den samme funktion, f.eks.

$g(x)\; =\; f(f(x))\; =\; (f\; \backslash circ\; f)(x)$

Til den type sammensatte funktioner har man en særlig skrivemåde, nemlig

$g(x)\; =\; f(f(x))\; =\; (f\; \backslash circ\; f)(x)\; =\; f^2(x)$

Udtrykket efter det sidste lighedstegn læses som f i anden af x. Tilsvarende har man

$g(x)\; =\; f(f(f(x)))\; =\; (f\; \backslash circ\; f\; \backslash circ\; f)(x)\; =\; f^3(x)$

$g(x)\; =\; f(f(f(f(x))))\; =\; (f\; \backslash circ\; f\; \backslash circ\; f\; \backslash circ\; f)(x)\; =\; f^4(x)$

og så videre. Notationen harmonerer godt med skrivemåden $f^\{-1\}$ for den inverse funktion.

Denne potensskrivemåde må ikke forveksles med den notation man indimellem ser anvendt på de trigonometriske funktioner sinus og cosinus, hvor man indimellem skriver $\backslash sin^2\; x$ og $\backslash cos^2\; x$ i stedet for de mere korrekte skrivemåder, hhv. $(\backslash sin\; x)^2$ og $(\backslash cos\; x)^2$.

Forskrift

---

Hvis begge funktionerne $f$ og $g$ er beskrevet ved deres forskrifter; regneudtryk der bestemmer funktionens værdi for et givent tal $x$, kan man bestemme forskriften for hele den sammensatte funktion $(f\; \backslash circ\; g)(x)$ ved at tage forskriften for $g$, og sætte den ind i stedet for det uafhængige $x$ i forskriften for $f$.

Anvendelse

---

Indenfor differentialregningen har man ofte brug for at "dele" en funktion med en kompliceret forskrift op i flere funktioner med simplere forskrifter: Kender man differentialkvotienten til disse "bestanddele", kan man nemlig beregne forskriften for den "komplicerede" funktions differentialkvotient efter denne formel:

$(f\; \backslash circ\; g)^\backslash prime(x)\; =\; (f(g(x)))^\backslash prime\; =\; g^\backslash prime(x)\; \backslash cdot\; f^\backslash prime(g(x))$

Funktioner

Komposition (Mathematik) | Function composition | Yhdistetty funktio | Composition de fonctions | הרכבת פונקציות | Composizione di funzioni | Złożenie funkcji | Композиция функций | 复合函数