Grupoid

V algebře je grupoid základní algebraická struktura s jednou operací. Je to množina, na které je definována jedna binární operace tak, aby byla na této množině neomezeně proveditelná - tj. výsledkem operace provedené na libovolných prvcích množiny byl prvek z této množiny.

Definice

Množinu

\mathbb{M}

, na které je definována jedna binární operace (·) nazýváme grupoid a značíme

(\mathbb{M};\cdot)

Příklady

(N; +) - operace sčítání na množině přirozených čísel
(N; ·) - operace násobení na množině přirozených čísel

Protipříklady

(N; -) - operace odčítání na množině přirozených čísel není uzavřená
(N; :) - operace dělení na množině přirozených čísel není uzavřená

Vlastnosti

Grupoid (M; ·) se nazývá asociativní, právě když (∀x,y,z ∈ M)(x·y)·z = x·(y·z) - tj. operace na něm definovaná je asociativní.

Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s neutrálním prvkem, právě když (∃e ∈ M)(∀x ∈ M) e·x = x·e = e - tj. operace na něm definovaná má neutrální prvek.

Jde-li o operaci násobení (tj. multiplikativní symboliku) pak neutrálnímu prvku říkáme jednotkový prvek a značíme: 1. Jde-li o operaci sčítání (tj. aditivní symboliku) pak neutrálnímu prvku říkáme nulový prvek a značíme: 0.

Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s inverzními prvky, právě když 1 ∈ M ∧ (∀x ∈ M)(∃y ∈ M) x·y = y·x = 1 - tj. obsahuje jednotkový prvek a ke každému prvku také inverzní prvek.

Grupoid (M; ·) se nazývá komutativní, právě když (∀x,y ∈ M)x·y = y·x - tj. operace na něm definovaná je komutativní.

Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením zleva, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y).

Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením zprava, právě když (∀x,y,z ∈ M) (x·z = y·z ⇒ x = y).

Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s krácením, právě když (∀x,y,z ∈ M) (z·x = z·y ⇒ x = y) ∧ (x·z = y·z ⇒ x = y).

Grupoid (M; ·) se nazývá grupoid s dělením, právě když (∀x,y ∈ M)(∃u,v∈ M) (x·u = y ∧ v·x = y).

Algebraické struktury

Gourt Home::Gourt :: Grupoid

Definice

Příklady

Protipříklady

Vlastnosti