Algebraická struktura

Algebraická struktura je v matematice každá množina, na které jsou definované nějaké operace a daná struktura je na tyto operace uzavřená.

Studiem algebraických struktur se zabývá algebra.

Definice

Mějme neprázdnou množinu M a neprázdnou množinu operací O na množině M. Pak se uspořádaná dvojice (M, O) nazývá algebraická struktura. Množina M se pak nazývá nosič této algebraické struktury.

Příklady

(N; +) - množina přirozených čísel s operací sčítání
(N; .) - množina přirozených čísel s operací násobení
(N; +, .) - množina přirozených čísel s operacemi sčítání a násobení.

Nejsou algebraickými strukturami

(N; -) - množina přirozených čísel není na operaci odečítání uzavřená, tj. v množině nelze neomezeně odečítat, dříve či později by byl výsledkem této operace prvek mimo množinu N.
(N; :) - množina přirozených čísel není na operaci dělení uzavřená, tj. v množině nelze neomezeně dělit, dříve či později by byl výsledkem této operace prvek mimo množinu N.

Souvislost s relačními strukturami

Matematická struktura (nebo také relační struktura) je obecnějším pojmem než struktura algebraická. Matematická struktura je totiž tvořena dvojicí (M,R), kde R je množina relací definovaných v M. Protože každou n-ární operaci lze považovat za (n+1)-ární relaci je každá algebraická struktura zároveň matematickou strukturou. Obráceně to neplatí - například struktura (N; ≤) je matematická struktura, není však algebraická struktura.

Vlastnosti operací

Klasifikace

Algebraické struktury s jednou operací

Grupoid je algebraická struktura s jednou operací.
Kvazigrupa je grupoid, na kterém lze neomezeně provádět inverzní operaci (dělit).
Pologrupa je asociativní grupoid.
Monoid je pologrupa s neutrálním prvkem.
Grupa je monoid s inverzními prvky.
Abelova grupa je komutativní grupa.

Algebraické struktury se dvěma operacemi

Polookruh je podobný okruhu, nemá však pro sčítání všechny inverzní prvky
Okruh je algebraická struktura s distributivností, která je ke sčítání komutativní grupou a k násobení pologrupou.
Obor integrity je okruh s jednotkovým prvkem, který neobsahuje netriviální dělitele nuly
Těleso je okruh, který je grupou vůči násobení
Pole je těleso, které je vůči násobení komutativní grupou

Algebraické struktury s uspořádáním

Částečně uspořádaná množina (poset)
Polosvaz
Svaz
Booleova algebra je svaz s nulou a jednotkou, který je komplementární a distributivní

Algebra

Gourt Home::Gourt :: Algebraická struktura