Trojúhelník je mnohoúhelník s právě třemi vrcholy. Tato trojice bodů nesmí ležet na jedné přímce.

Základní pojmy

Úsečky, které spojují vrcholy, se nazývají strany trojúhelníka. Úhly, které svírají strany, se nazývají vnitřní úhly trojúhelníka. Úhly vedlejší k vnitřním úhlům, se nazývají vnější úhly trojúhelníka. Každý trojúhelník má 3 strany, 3 vnitřní úhly, 6 vnějších úhlů (u každého vrcholu dva).

Znázornění a zápis

Trojúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran. Vrcholy se označují velkým tiskacím písmenem, strany se označují malým písmenem příslušným protějšímu vrcholu, úhly se označují malým řeckým písmenem. Trojúhelník se zapisuje symbolem Δ následovaným výčtem všech vrcholů.

Trojuhelnik.jpg

Vlastnosti trojúhelníka

Strany trojúhelníka splňují trojúhelníkové nerovnosti:

Součet dvou libovolných stran je vždy delší než strana třetí, neboli

a + b > c

a + c > b

b + c > a , kde a, b, c jsou strany trojúhelníka.

Součet všech vnitřních úhlů je v každém trojúhelníku 180°. Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je 180°. Součet dvou vnitřních úhlů se rovná vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu. Proti většímu úhlu leží větší strana.

SoucetUhluTrojuhelnika.jpg

Obecný trojúhelník není osově ani středově souměrný, některé druhy trojúhelníků mohou být osově souměrné.

Druhy trojúhelníků

1) podle stran

• obecný trojúhelník (též různostranný) - žádné dvě strany nejsou shodné
  
• rovnoramenný trojúhelník - dvě strany jsou navzájem shodné, ale nejsou shodné s třetí stranou
  
• rovnostranný trojúhelník - všechny strany jsou shodné

TrojuhelnikyPodleStran.jpg

2) podle úhlů

• ostroúhlý trojúhelník - všechny vnitřní úhly jsou ostré
  
• pravoúhlý trojúhelník - jeden vnitřní úhel je pravý, zbývající dva jsou ostré
  
• tupoúhlý trojúhelník - jeden vnitřní úhel je tupý, zbývající dva jsou ostré
  

TrojuhelnikyPodleUhlu.jpg

Výšky, těžnice a střední příčky

Výška je kolmice spuštěná z vrcholu na protější stranu. Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata výšky. Každý trojúhelník má tři výšky. Přímky, na nichž leží výšky, se protínají v jednom bodě, který se nazývá ortocentrum. Menší straně odpovídá větší výška. Výšky se označují malým písmenem v s dolním indexem příslušné strany.

VyskyTrojuhelnika.jpg

Těžnice je spojnice vrcholu a středu protější strany. Každý trojúhelník má tři těžnice. Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá těžiště. Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2 : 1, přitom vzdálenost těžiště od vrcholu je dvojnásobek vzdálenosti od středu protější strany. Každá těžnice rozděluje trojúhelník na dva díly se stejným obsahem. Těžnice se označují malým písmenem t s dolním indexem příslušné strany.

TezniceTrojuhelnika.jpg

Střední příčka je spojnice středů dvou stran. Každý trojúhelník má tři střední příčky. Střední příčka je rovnoběžná s příslušnou stranou a má velikost poloviny příslušné strany. Střední příčky dohromady rozdělují trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky. Střední příčky se označují malým písmenem s s dolním indexem příslušné strany.

StredniPrickyTrojuhelnika.jpg

Obvod a obsah

Obvod trojúhelníka o se vypočte jako součet všech jeho stran:

o = a + b + c , kde a, b, c jsou strany trojúhelníka

Obsah trojúhelníka S se vypočte jako polovina součinu libovolné strany a k ní příslušné výšky:

S = z . v / 2 , kde v je výška příslušná straně z

Pokud není známá příslušná výška, je možné obsah trojúhelníka vypočítat podle Heronova vzorce:

s = o / 2 kde o je obvod trojúhelníka

S = $\backslash sqrt\{s(s-a)(s-b)(s-c)\}$

Obsah trojúhleníka pomocí poloměru kružnice opsané ($r$):

$S=\backslash frac\{abc\}\{4r\}=2r^2\; \backslash sin(\backslash alpha)\backslash sin(\backslash beta)\backslash sin(\backslash gamma)$

Obsah trojúhleníka pomocí poloměru kružnice vepsané ($\backslash rho$):

$S=\backslash frac\{a+b+c\}\{2\}\backslash rho$

Obsah trojúhleníka pomocí vnitřního úhlu:

$S=\backslash frac\{1\}\{2\}ab\backslash ,\backslash sin(\backslash gamma)=\backslash frac\{1\}\{2\}ac\backslash ,\backslash sin(\backslash beta)=\backslash frac\{1\}\{2\}bc\backslash ,\backslash sin(\backslash alpha)$

Kružnice opsaná a vepsaná

Kružnice opsaná trojúhelníku je taková kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníka. Každému trojúhelníku lze opsat kružnici. Střed kružnice opsané leží v průsečíku os stran, poloměr se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu.

KruzniceOpsanaTrojuhelniku.jpg

Kružnice vepsaná trojúhelníku je taková kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníka. Každému trojúhelníku lze vepsat kružnici. Střed kružnice vepsané leží v průsečíku os vnitřních úhlů, poloměr se rovná kolmé vzdálenosti středu od libovolné strany.

KruzniceVepsanaTrojuhelniku.jpg

Věty o trojúhelníku

V trojúhelníku platí všelijaké věty, vzorce, poučky. Např.

• sinová věta
• kosinová věta (zobecnění Pythagorovy věty na nepravoúhlý trojúhelník)
• tangentová věta

V pravoúhlém trojúhelníku navíc:

• Pythagorova věta
• Euklidova věta

Matematika - Geometrie - Rovinné geometrické útvary - Mnohoúhelník | Rovinné geometrické útvary

مثلث | Triangle | Triangulu | Trekant | Dreieck | Triangle | Triangulo | Triángulo | Kolmnurk | Kolmio | Triangle | Triángulo | משולש | Segi tiga | Triangulo | Þríhyrningur | Triangolo | 三角形 | 삼각형 | Driehook | Trikampis | Trīsstūris | Driehoek (meetkunde) | Trekant | Trójkąt (geometria) | Triângulo | Треугольник | Trikotnik | Triangel | รูปสามเหลี่ยม | Üçgen | Трикутник | Tam giác | 三角形