Spojité zobrazení je druh zobrazení mezi topologickými prostory, které nevytváří trhliny ani ostré skoky. Je zobecněním pojmu spojitá funkce na množinách čísel.

Definice

Zobrazení $f$ mezi topologickými prostory $X$ a $Y$ nazveme spojité, pokud vzor každé otevřené množiny v $Y$ je otevřená množina v $X$.

Ekvivalentní definice říká, že zobrazení $f$ je spojité v bodě $x\; \backslash in\; X$, jestliže pro každé okolí $V$ bodu $f(x)$ existuje okolí $U$ bodu $x$ takové, že $f(U)\; \backslash subseteq\; V$. Zobrazení $f$ je spojité, pokud je $f$ spojité v každém $x\; \backslash in\; X$.

Spojitá zobrazení na množinách čísel

Zobrazením mezi množinami čísel se častěji říká funkce. Topologie na množině reálných a komplexních čísel je generována otevřenými intervaly. Proto i definice spojitosti je pro tyto zobrazení ekvivalentní běžné definici spojité funkce pomocí $\backslash epsilon$ a $\backslash delta$. Obecněji na metrických a normovaných lineárních prostorech je topologická definice spojitosti ekvivalentní definicím spojitých funkcí pomocí metriky nebo normy.

Vlastnosti spojitých zobrazení

Složení spojitých zobrazení je opět spojité zobrazení.

Spojité zobrazení zachovává kompaktní množiny. Proto i složení $f\; \backslash circ\; g:X\; \backslash rightarrow\; Z$ spojitého zobrazení $f:\; Y\; \backslash rightarrow\; Z$ s kompaktním zobrazením $g:X\; \backslash rightarrow\; Y$ je zobrazení kompaktní.

Podívejte se také na

• Homeomorfismus
• Spojitá funkce

Topologie

Stetigkeit (Topologie) | Continuous function (topology) | רציפות (טופולוגיה)