Spojitá funkce

Spojita_a_nespojita_funkce.png Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, tzn. při velmi malé změně hodnoty x se hodnota f(x) změní také jen velmi málo. Intuitivní představa spojité funkce spočívá ve funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.

Spojité funkce jsou v praxi mnohem častější než nespojité, např. v klasické fyzice jsou prakticky všechny používané funkce spojité. Spojitost je také jednou ze základních vlastností běžně požadovaných po „rozumných funkcích“, mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku – např. derivace, integrál apod.

Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce f v bodě x₀ definovat následujícími dvěma podmínkami:

Funkce je v bodě x₀ definována (x₀ patří do definičního oboru).
V bodě x₀ existuje limita funkce a je rovna právě funkční hodnotě v tomto bodě:
$\lim_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$ .

Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na množině či intervalu (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o spojité funkci se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru.

Příklady

Všechny polynomické funkce, exponenciální funkce, sinus a kosinus a funkce absolutní hodnota jsou spojité v celém oboru reálných čísel.
Racionální funkce, logaritmy, tangens a kotangens jsou spojité na svém definičním oboru (ale nejsou definované pro všechna reálná čísla).
Funkce signum (znaménko) je nespojitá v bodě x = 0:
I velmi malá změna hodnoty kolem tohoto bodu způsobí velkou změnu hodnoty: sgn −0,001 = −1, ale sgn 0,001 = 1.
Funkce pro získání nejbližšího menšího celého čísla je nespojitá v každém celém čísle.
Extrémním příkladem je tzv. Dirichletova funkce, která je definovaná pro všechna reálná čísla, ale v žádném bodě není spojitá.

Matematická analýza

Gourt Home::Gourt :: Spojitá funkce

Příklady