Podmnozina.png V matematice se jako podmnožina množiny A označuje taková množina B, o jejíchž všech prvcích platí, že jsou zároveň i prvky množiny A. Obdobně se může množina A označit jako nadmnožina množiny B. Tato fakta značíme A ⊆ B, B ⊇ A.

Každá množina je svojí podmnožinou. Podmnožina množiny B, která jí není rovna, se označuje jako vlastní podmnožina množiny B. Tzn. žádná množina není svojí vlastní podmnožinou.

Formální definice

A ⊆ B, právě když pro všechna x ∈ A platí, že x ∈ B

A ⊂ B iff A ⊆ B a zároveň A ≠ B

Způsoby zápisu

Existují dva obvyklé způsoby zápisu podmnožin: Ve starším systému se symbolem „⊂“ označuje jakákoli podmnožina, zatímco symbolem „⊊“ se označuje vlastní podmnožina. V novějším systému se symbolem „⊂“ označuje vlastní podmnožina, zatímco pro označení obecné podmnožiny se používá symbol „⊆“ (analogický např. k „≤“).

Příklady

• Množina { 1, 2, 3 } je vlastní podmnožinou množiny { 0, 1, 2, 3 }.
• Množina všech celých čísel je vlastní podmnožinou množiny všech reálných čísel.
• Množina všech prvočísel větších než 500 je vlastní podmnožinou všech lichých čísel.
• Množina { 2 } je podmnožinou množiny sudých prvočísel (ovšem nikoli vlastní podmnožinou, protože je jí rovna).
• Množina českých prezidentů je vlastní podmnožinou množiny hlav evropských států.
• Prázdná množina je podmnožinou každé množiny.

Vlastnosti

• Reflexivita: A ⊆ A pro libovolnou množinu A.
• Tranzitivita: Pokud A ⊆ B a zároveň B ⊆ C, pak A ⊆ C.
• Antisymetrie: Pokud A ⊆ B a zároveň B ⊆ A, pak A = B.

Tyto vlastnosti zajišťují, že relace ⊆ je částečné uspořádání množiny množin, přičemž prázdná množina je nejmenší prvek.

Teorie množin

Падмноства | Teilmenge | Subset | Subconjunto | Alamhulk | Osajoukko | Sous-ensemble | תת קבוצה | Hlutmengi | Sottoinsieme | 部分集合 | 부분집합 | Deelverzameling | Podzbiór | Подмножество | Podmnožica | Delmängd | Підмножина | 子集