V algebře je monoid algebraická struktura s jednou asociativní binární operací a neutrálním prvkem. Je to tedy grupoid, jehož operace je asociativní a který má neutrální prvek.

Definice

---

Monoid je grupoid (M; ·), tedy množina M s binární operací "·" : M × M → M, a těmito axiomy:

• Asociativita: ∀ x, y, z ∈ M (x·y)·z = x·(y·z)
• Neutrální prvek: (∃e∈ M) (∀x∈ M) x·e = e·x = x.

Někdy se uvádí i následující axiom plynoucí však z definice binární operace.

• ∀ (x, y ∈ M) x·y ∈ M

Monoid tak je vlastně pologrupa s neutrálním prvkem.

Pokud bychom doplnili tyto axiomy o existenci inverzních prvků, byla by tato struktura grupou.

Monoid, jehož operace je také komutativní se nazývá komutativní monoid, nebo Abelovský monoid.

Příklady

---

• Přirozená čísla tvoří komutativní monoid jak k operaci sčítání, tak i násobení.
• Množina všech matic n×n tvoří monoid vůči sčítání i násobení

Homomorfismus monidu

---

O dvou monoidech (M; ·) a (M'; ∗) řekneme, že jsou homomorfní jestliže existuje zobrazení (homomorfismus) f: M → M' takové, že:

• ∀x,y∈M f(x·y)=f(x)∗f(y).
• f(e)=e ', kde e je neutrální prvek grupoidu (M; ·) a e ' neutrální prvek grupoidu (M'; ∗).

Je-li zobrazení mezi dvěma monoidy bijektivní a je to homomorfismus, říkáme, že tyto dva monoidy jsou izomorfní.

Algebraické struktury

Monoid | Monoid | Monoide | Monoid | Monoidi | Monoïde | מונואיד (מבנה אלגברי) | Monoide | モノイド | Monoïde | Monoid | Monoid | Monoid (matematik) | 幺半群