ellipsoid_3d.jpg Elipsoid je prostorové těleso tvořené množinou všech bodů, jejichž poloha vůči zadanému bodu (středu) splňuje podmínky dané následující nerovnicí. Pokud bychom znak ≤ nahradili znakem =, rovnici by splňovaly právě body na povrchu elipsoidu.

$\{x^2\; \backslash over\; a^2\}+\{y^2\; \backslash over\; b^2\}+\{z^2\; \backslash over\; c^2\}\; \backslash leq\; 1$

kde a, b a c jsou konstantní kladná reálná čísla, určující délky poloměrů ve směru jednotlivých os. Uvedená definice předpokládá, že střed elipsoidu leží v počátku soustavy souřadnic a že osy elipsoidu jsou totožné s osami soustavy souřadnic. Pokud tomu tak není, je třeba nerovnici rozšířit o popis posunutí a otočení elipsoidu v prostoru.

Elipsoid, jehož dva poloměry jsou shodné, se nazývá sferoid. Elipsoid, který má shodné všechny tři poloměry, je koule.

Budeme-li předpokládat, že a ≥ b ≥ c, potom:

• jestliže a > b > c, jde o obecný elipsoid
• jestliže a > b = c, jde o podlouhlý (doutníkovitý) sferoid
• jestliže a = b > c, jde o zploštělý (diskovitý) sferoid
• jestliže a = b = c, jde o kouli

Zobecněný hyperelipsoid

Typicky pracujeme s elipsoidem v trojrozměrném prostoru. Uvedenou definici lze zobecnit pro n-rozměrný prostor následovně (i nadále platí, že osy elipsoidu jsou totožné s osami soustavy souřadnic):

$\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \{x\_i^2\; \backslash over\; r\_i^2\}\; \backslash leq\; 1$

kde $r\_i$ je vektor poloměrů v jednotlivých rozměrech. Pro $n>3$ jde o abstraktní matematické těleso, které je obtížné vizualizovat. Pro $n=2$ jde o elipsu v rovině. Pro $n=1$ jde o úsečku na přímce.

Referenční elipsoid

Elipsoid se používá jako matematická aproximace tvaru Země a jiných těles ve vesmíru. Skutečný tvar Země je nepravidelný, a to nejen pokud jde o nadmořskou výšku jednotlivých bodů na jejím povrchu, ale i pokud jde o střední klidovou vzdálenost hladiny moře od středu Země (geoid). Souvisí to s nepravidelným rozložením hmoty uvnitř Země, a tedy s rozdílnými gravitačními potenciály na různých místech na povrchu. Klidová vzdálenost mořské hladiny od středu Země se na různých místech planety může lišit až o 100 m.

V historii byla definována řada různých referenčních elipsoidů a i v současnosti se pro mapování různých míst zemského povrchu používají různé referenční elipsoidy - vzhledem k nepravidelnosti zemského povrchu může být pro každou oblast vhodnější jiný elipsoid. Znalost použitého elipsoidu (tedy jeho poloměrů a případného posunutí vůči středu Země) je nezbytná pro přenesení souřadnic z mapy do terénu; při použití jiného elipsoidu, než k jakému byla mapa vztažena, mohou rozdíly činit i stovky metrů, což je fatální např. při námořní navigaci: 200 m může být rozdíl mezi dvěma stranami jednoho korálového útesu.

Typický referenční elipsoid je zploštělý sferoid, jehož větší poloměr vymezuje rovník, menší pak vzdálenost pólů od středu Země. Z toho plyne, že osa $z$ odpovídá ose Země (souřadnice od jižního pólu k severnímu, počátek ve středu Země). Za osu $x$ se považuje osa procházející průsečíkem rovníku a nultého poledníku (souřadnice rostou od opačné strany planety k tomuto bodu, tedy od Tichého oceánu k Atlantskému). Za osu $y$ se považuje osa procházející průsečíkem rovníku a devadesátého poledníku (západní i východní délky - souřadnice rostou od západu na východ, tedy zhruba od Galapág k Sumatře).

Současným globálním standardem mezi referenčními elipsoidy je tzv. WGS-84, jehož střed leží ve středu Země a poloměry a = 6 378 137 m, b = 6 356 752,3 m. Tento elipsoid se používá např. při satelitní navigaci GPS. Ostatní referenční elipsoidy lze definovat pomocí posunutí jejich středu vůči středu WGS-84.

Polární souřadnice

Klasické kartézské souřadnice neposkytují dostatečně intuitivní představu o poloze bodu na povrchu elipsoidu. Pokud víme, že se pohybujeme po povrchu, stačí nám totiž pouhé dvě souřadnice místo tří. Při využití elipsoidu jako referenčního tělesa pro povrch planety se proto obvykle používají polární (úhlové) souřadnice: zeměpisná šířka a zeměpisná délka. V mnoha případech nám totiž stačí pracovat s body na povrchu referenčního elipsoidu a odchylky způsobené nadmořskou výškou nebo lokální odchylkou gravitačního potenciálu zanedbáváme. Pokud bychom je nechtěli zanedbávat, museli bychom soustavu polárních souřadnic doplnit o třetí rozměr, výšku.

• Délka bodu $A$ je úhel mezi rovinou $xz$ (tj. rovinou obsahující osy $x$ a $z$) a rovinou obsahující osu $z$ a bod $A$. Označme tuto rovinu $\backslash delta$. Vzhledem k tomu, že délka může být kladná i záporná, známe nejen úhel, ale i směr rotace od výchozí roviny (úhel je orientovaný) a máme navíc informaci o polorovině, na které se daný bod nachází (rovina $\backslash delta$ je rozdělena na poloroviny osou $z$). Na referenčním elipsoidu Země se délka určuje v rozsahu -180° až +180° (zápornou délku mají body, které mají zápornou kartézskou souřadnici $y$); u jiných těles se obvykle používá rozsah 0° až 360°.
• Šířka je úhel mezi rovinou $xy$ a přímkou $r$, která je podmnožinou roviny $\backslash delta$ a prochází středem elipsoidu i bodem $A$. Šířka se určuje v rozsahu -90° až +90° (zápornou šířku mají body, které mají zápornou kartézskou souřadnici $z$).
• Výška je (případná) vzdálenost bodu $A$ od povrchu elipsoidu a jde o reálné číslo, které je zdola omezeno hodnotou $-a$ (opačné číslo k největšímu z poloměrů elipsoidu), shora omezené není. Jde-li o referenční elipsoid planety, udává se výška obvykle v metrech, popř. ve stopách.

Převod polárních souřadnic na kartézské

Poznámka: Při nasazení níže uvedeného postupu v praxi je třeba si ověřit, zda software, s jehož pomocí počítáme funkci tangens, očekává úhel ve stupních, nebo v radiánech. Stupně lze přepočítat na radiány vzorcem $radi\backslash acute\{a\}ny\; =\; stupn\backslash check\{e\}\; \{\backslash pi\; \backslash over\; 180\}$.

1. Mějme bod $A$ daný délkou $\backslash lambda$, šířkou $\backslash phi$ a výškou $v$.
2. $y\; =\; x\; \backslash mbox\{tg\; \}\; \backslash lambda\backslash ,\backslash !$. Zvláštním případem je $\backslash |\; \backslash lambda\; \backslash |\; =\; 90$, kdy tangens není definován. Tehdy platí $x=0\backslash ,\backslash !$.
3. $z\; =\; (\backslash sqrt\; \{x^2+y^2\})\; \backslash mbox\{tg\; \}\; \backslash phi$, kde $\backslash sqrt\; \{x^2\; +\; y^2\}$ je poloměr $\backslash phi$-té rovnoběžky. Zvláštním případem je $\backslash |\; \backslash phi\; \backslash |\; =\; 90$, kdy tangens není definován. Tehdy platí $x=y=0\backslash ,\backslash !$.
4. Nyní již můžeme popsat polopřímku $r$, která vychází ze středu elipsoidu a prochází bodem $A$. Výše uvedené vztahy mezi $x$, $y$ a $z$ vycházejí z úhlů definujících polopřímku a platí proto pro každý její bod. Na polopřímce tedy leží i bod $A\_1=\}\backslash lambda;(\backslash sqrt\{1+(\backslash mbox\{tg\; \}\backslash lambda)^2\})\backslash mbox\{tg\; \}\backslash phi$.
5. Potřebujeme zjistit, v jaké vzdálenosti od středu elipsoidu leží bod, ve kterém polopřímka $r$ protíná jeho povrch. Nejdříve tedy musíme zjistit souřadnice tohoto průsečíku. Hledáme takový skalár $k\_Z$, že bod $A\_Z\; =\; k\_Z\; \backslash cdot\; A\_1$ leží na povrchu elipsoidu, tj. splňuje rovnici $+=1$.
6. Dosazením do této rovnice získáme $k\_Z\; =\; \backslash sqrt$.
7. Vzdálenost bodu $A\_Z$ od středu elipsoidu $\backslash |A\_Z\backslash |=\backslash sqrt\{x\_Z^2+y\_Z^2+z\_Z^2\}$.
8. Nyní hledáme takové $k$, že pro bod $A$, jehož souřadnice hledáme, platí $A=k\backslash cdot\; A\_1$. $k$ a $k\_Z$ jsou ve stejném poměru, v jakém jsou vzdálenosti $A$ a $A\_Z$ od středu, tedy $k\; =\; k\_Z$. Souřadnice bodu $A$ pak už triviálně získáme pomocí $k$ a souřadnic $A\_1$.

Příklad

Mějme bod (v Praze) určený polárními souřadnicemi

• $\backslash phi$ = 50° s. š. = +50° = 0,872664626 radiánů
• $\backslash lambda$ = 14° 30' v. d. = +14,5° = 0,253072741 radiánů
• $v$ = 250 m

Předpokládejme, že polární souřadnice jsou vztaženy k povrchu referenčního elipsoidu WGS-84, tedy

• a = 6 378 137 m
• b = 6 356 752,3 m

Potom

• $A\_1\; =0,258618;\; 1,230963$
• $k\_Z\; =\; 3\; 961\; 374$
• $A\_Z\; =1024481;\; 4876303$
• $\backslash |A\_Z\backslash |\; =\; 6365562$
• $=\; 1,000039$
• $A\; =1024521;\; 4876495$

Tedy

• x = 3 961 529 m
• y = 1 024 521 m
• z = 4 876 495 m

Převod kartézských souřadnic na polární

Předpokládejme, že pracujeme se zploštělým sferoidem, např. s referenčním elipsoidem Země. Pro obecný elipsoid lze postup zobecnit.

1. Mějme bod $A$ a jeho kartézské souřadnice $x$, $y$ a $z$.
2. Polopřímku $r$, která vychází ze středu elipsoidu a prochází bodem $A$, lze parametricky vyjádřit jako $*+k\; \backslash cdot\; A$, kde $k>0$.
3. Protože bod $A$ může mít nenulovou výšku a nemusí tedy ležet přímo na povrchu elipsoidu, potřebujeme najít bod $A\_Z$, který leží na průniku polopřímky $r$ s povrchem elipsoidu.
4. Tento bod musí současně splňovat rovnici pro polopřímku i rovnici pro povrch elipsoidu $+=1$.
5. Vyjádříme-li souřadnice $A\_Z$ pomocí $k\_Z$ a souřadnic $A$, dostaneme $+=1$.
6. $\{k\_Z^2\}=$
7. $k\_Z=\backslash pm\backslash sqrt$
8. Dostaneme 2 koeficienty, jeden kladný a jeden záporný, protože přímka protne povrch elipsoidu na dvou místech. Jak už ale bylo zmíněno, zajímá nás pouze polopřímka vedoucí ze středu elipsoidu směrem k bodu $A$, využijeme tedy pouze kladný z obou koeficientů.
9. S pomocí koeficientu $k$ dostaneme souřadnice bodu $A\_Z=k\_Z\backslash cdot*$.
10. Délka vektoru z bodu $A\_Z$ do bodu $A$ odpovídá hledané nadmořské výšce: $v=\backslash pm\backslash sqrt\{(x-x\_Z)^2+(y-y\_Z)^2+(z-z\_Z)^2\}$. Směr vektoru nám prozradí, zda má být výška kladná, nebo záporná. Totéž lze vyčíst i z koeficientu $k$ - pokud je větší než 1, leží bod $A\_Z$ na polopřímce $r$ až za bodem $A$, a výška bodu $A$ je tedy záporná. V opačném případě je výška kladná.
11. Šířka $\backslash phi=\backslash mbox\{tg\}^\{-1\}\{y\backslash over\{x\}\}$
12. Délka $\backslash lambda=\backslash mbox\{tg\; \}^\{-1\}\{z\backslash over\backslash sqrt\{x^2+y^2\}\}$

Příklad

Mějme bod $A$ určený kartézskými souřadnicemi

• x = 1 113 547 m
• y = -4 823 300 m
• z = 4 008 571 m

Hledáme polární souřadnice tohoto bodu vztažené k povrchu referenčního elipsoidu WGS-84, tedy

• a = 6 378 137 m
• b = 6 356 752,3 m

Potom

• $\backslash phi\; =\; -77$
• $\backslash lambda\; =\; 39$
• $k\_Z\; =\; 0,999994$
• $A\_Z\; =-4823270;\; 4008546$
• $\backslash |A\_Z\backslash |\; =\; 6365562$
• $A-A\_Z\; =-30,2891;\; 25,17282$
• $\backslash |A-A\_Z\backslash |\; =\; 40$

Tedy

• φ = 39° s. š.
• λ = 77° z. d.
• v = 40 m

(Pohledem na mapu pak zjistíme, že tento bod leží na předměstí Washingtonu.)

Vzdálenost dvou bodů na povrchu elipsoidu

Vzdálenost dvou bodů na povrchu (nebo v blízkosti povrchu) elipsoidu nás zajímá zejména u referenčního elipsoidu, chceme-li určit vzdálenost dvou bodů na povrchu Země či jiné planety.

Po přímce

Nejkratší vzdáleností dvou bodů v prostoru je délka úsečky, kterou tyto body vymezují, tedy vzdálenost měřená na přímce. Pro praktické užití na referenčním elipsoidu má ovšem takto zjištěná vzdálenost zásadní nevýhodu, totiž že spojnice obou bodů typicky prochází pod povrchem elipsoidu a neodpovídá tedy vzdálenosti, kterou musí při přesunu mezi oběma body urazit např. letadlo. Pouze u malých vzdáleností je tento rozdíl zanedbatelný.

Vzdálenost bodů $A$ a $B$ lze přímo vypočítat z jejich kartézských souřadnic, stačí tedy převést polární souřadnice na kartézské podle výše uvedeného postupu.

$d=\backslash sqrt\{(x\_B-x\_A)^2+(y\_B-y\_A)^2+(z\_B-z\_A)^2\}$

Příklad

Mějme body A (Praha) a B (Washington) jako ve výše uvedených příkladech, tedy

• A = 1024521; 4876495
• B = -4823300; 4008571

Potom

• (B-A) = -5847821,155; -867924,0585
• d = 6 562 112 m

Po elipse

Vzdálenost vedená po povrchu elipsoidu by byla délka úseku elipsy, která prochází oběma body a má střed shodný se středem elipsoidu. Tato elipsa je průnikem povrchu elipsoidu a roviny definované středem elipsoidu a oběma body, jejichž vzájemnou vzdálenost měříme. Problém je, že neznáme poloměry této elipsy; víme pouze, že leží někde mezi největším a nejmenším poloměrem elipsoidu. Můžeme však aspoň provést horní a dolní odhad vzdálenosti, pokud budeme místo elipsy postupně uvažovat kružnice s poloměry odpovídajícími největšímu a nejmenšímu poloměru elipsoidu. Tento postup navíc nezohledňuje případnou výšku bodů A a B nad povrchem elipsoidu.

Při cestování po dráze dané elipsou se středem uprostřed elipsoidu se soustavně mění azimut, tedy úhel mezi směrem pohybu a severem! Přesun z bodu A do bodu B lze také provést po loxodromě (anglicky rhumb line), tedy čáře protínající všechny poledníky pod stejným úhlem; taková trasa však bude delší než trasa po elipse. I tento rozdíl je pro blízké body zanedbatelný.

• Pro změření úseku kružnice mezi body $A$ a $B$ potřebujeme znát úhel $\backslash gamma$ mezi přímkami $a$ a $b$, přičemž přímka $a$ prochází bodem $A$, přímka $b$ prochází bodem $B$ a obě procházejí středem kružnice.
• Velikost úhlu $\backslash gamma$ dokážeme určit pomocí goniometrických funkcí, pokud budeme znát polohu bodu $K$, ve kterém přímka $c$, spojující body $A$ a $B$, protíná kolmici na ni vedenou ze středu elipsoidu $S$.
  • Přímku $c$ lze popsat jako $C=A+k\backslash cdot\; (B-A)$, kde $k$ je reálné číslo a $(B-A)$ je vektor vedoucí z bodu $A$ do bodu $B$. Pro každý bod $C$ přímky $c$ existuje skalár $k$ takový, že uvedená rovnice platí. Náš bod $K$ má ležet na přímce $c$, budeme tedy hledat jemu odpovídající $k$.
  • Přímku $v$, která prochází body $S$ a $K$, lze popsat jako $V=S+l\backslash cdot\; (K-S)$. Protože bod $S$ je střed elipsoidu a počátek soustavy souřadnic, platí $S=*$, a tedy $V=l\backslash cdot\; K$.
  • Protože dále $v$ má být kolmá na $c$, musí platit, že skalární součin jejich směrových vektorů je roven nule. Naším směrovým vektorem pro přímku $c$ je $(B-A)$, pro přímku $v$ je to (zatím neznámé) $K$, tedy $x\_\{(B-A)\}x\_K+y\_\{(B-A)\}y\_K+z\_\{(B-A)\}z\_K=0\backslash ,\backslash !$.
  • Dosadíme-li do právě uvedené rovnice vyjádření bodu $K$ jako prvku přímky $c$, dostaneme rovnici o jedné neznámé $k$: $x\_\{(B-A)\}(x\_A+kx\_\{(B-A)\})+y\_\{(B-A)\}(y\_A+ky\_\{(B-A)\})+z\_\{(B-A)\}(z\_A+kz\_\{(B-A)\})=0\backslash ,\backslash !$.
  • Úpravou rovnice dostaneme $k=-$.
  • Získané $k$ dosadíme do rovnice $K=A+k\backslash cdot\; (B-A)$ a dostaneme souřadnice bodu $K$.
• Změříme úsečky AK, KB a KS. Např. $\backslash |AK\backslash |=\backslash sqrt\{(x\_K-x\_A)^2+(y\_K-y\_A)^2+(z\_K-z\_A)^2\}$.
• Vypočítáme úhel $\backslash gamma=\backslash mbox\{tg\}^\{-1\}+\backslash mbox\{tg\}^\{-1\}$.
• Jestliže jsme úhel $\backslash gamma$ dostali ve stupních, převedeme ho na radiány: $radi\backslash acute\{a\}ny\; =\; stupn\backslash check\{e\}\; \{\backslash pi\; \backslash over\; 180\}$.
• Délku úseku kružnice vypočítáme jako $d=\backslash gamma\; r\backslash ,\backslash !$, kde $r$ je poloměr kružnice.

Příklad

Mějme body A (Praha) a B (Washington) jako ve výše uvedených příkladech, tedy

• A = 1024521; 4876495
• B = -4823300; 4008571

a poloměry referenčního elipsoidu

• a = 6 378 137 m
• b = 6 356 752,3 m

Potom

• (B-A) = -5847821,155; -867924,0585
• k = 0,499427705
• K = -1896042,727; 4443029,462
• |AK| = 3 277 300,419 m
• |KB| = 3 284 811,352 m
• |SK| = 5 457 367,707 m
• γ = 1,082625728 rad = 62,03°

Pro kružnice s maximálním (a) a minimálním (b) poloměrem pak získáme horní a dolní odhad vzdálenosti po elipse:

• da = 6 905 135 m
• db = 6 881 984 m

Jak vidíme, chyba způsobená tím, že se pohybujeme po kružnici místo po elipse, je relativně malá (23 km), zatímco rozdíl mezi vzdáleností po kružnici a vzdáleností po přímce je poměrně značný (320, resp. 343 km).

Prostorové geometrické útvary | Navigace

Ellipsoid | Ellipsoid | Elipsoide | Ellipsoïde | Ellissoide | Ellipsoïde | Elipsoida | Elipsóide | Ellipsoidi | Ellipsoid | Elipsoit | Эллипсоид | سطح ناقص | ทรงรี