Триъгълникът е една от основните фигури в геометрията. Представлява двуизмерна фигура с три страни и три ъгъла.

---

Триъгълник: геометричен обект/фигура. Размерност: две. Притежава съвкупност от под обекти: три точки, три отсечки/страни и една площ/лице/стена. Съществува в геометрични пространства с размерност поне две. Конфигурацията му се записва със следният п-код <1.3.3>

Видове триъгълници

---

Според страните си, триъгълниците могат да бъдат:

• Равностранни - когато дължинатите на трите страни са равни. В равностранните триъгълници, ъглите също да равни. Всеки от тях е 60°.
• Равнобедрени -когато две от страните са равни. В тези триъгълници има 2 равни ъгъла.
• Разностранни триъгълници - всяка от страните е с различна дължина.

Равностранен	Равнобедрен	Разностранен

Триъгълниците могат да бъдат класифицирани и според големината на най-големия им вътрешен ъгъл:

• Правоъгълният триъгълник има ъгъл от 90°. Страната, срещулежаща на правия ъгъл, се нарича хипотенуза и е най-дългата страна във всеки правоъгълен триъгълник. Другите две страни се наричат катети.
• Тъпоъгъленият триъгълник има вътрешен ъгъл по-голям от 90°
• В остроъгълният триъгълник, всички вътрешни ъгъли са по-малки от 90°

Правоъгълен	Тъпоъгълен	Остроъгълен

Основни понятия

---

Основните понятия, свързани с триъгълниците са представени от Евклид в книги 1-4 от "Елементите" през около 300г. пр.Хр.

• Подобие- Два триъгълника са подобни тогава и само тогава, когато ъглите на единия са равни на съответстващите ъгли на другия. В този случай, дължините на тяхните съответстващи страни са пропорционални. Има три признака за подобност:

1. Ако три от ъглите на два триъгълника са еднакви, то триъгълниците са подобни. ¹
2. Ако съотношението на три съответстващи страни в два триъгълника е еднакво, то триъгълниците са подобни.
3. Ако съотношението на две съответстващи страни в два триъгълника е еднакво и ъглите между тях са еднакви, то триъгълниците са подобни.

¹ Доказано е, че ако само два от ъглите са еднакви, то и третия е еднакъв.

• Синус, косинус - Като се използва правоъгълен триъгълник могат да се дефинират основните тригонометрични функции- синус и косинус. Синус в правоъгълния триъгълник е отношението на срещулежащия катет към хипотенузата, а косинус е отношението на прилежащия катет към хипотенузата.

• В Евклидовата геометрия сумата на трите ъгъла на един триъгълник е равна на 180°. Това правило позволява третият ъгъл да бъде намерен, ако се знаят другите два.

• Питагоровата теорема гласи, че във всеки правоъгълен триъгълник сумата от квадратите на катетите е равна на квадрата на хипотенузата.

$c^2\; =\; a^2\backslash ,+\backslash ,b^2$

Това означава, че ако е известна дължината на всеки две от страните, може да се намери дължината на третата страна. Това може да се види на илюстрацията (известна още и като "Гащите на Питагор"). Площта на големия квадрат е равна на сбора от площите на двата малки квадрата.

Изразена чрез косинус, Питагоровата теорема изглежда така:

$c^2\; =\; a^2\; +\; b^2\; -\; 2ab\; \backslash cdot\; \backslash cos\backslash gamma$

В този си вид тя е валидна за всички триъгълници (не само за правоъгълните). С нея могат да бъдат намерени всички страни и ъгли в един триъгълник, ако са известни три от страните, или две от тях и ъгълът, сключен помежду им.

Синусовата теорема гласи:

$\backslash frac\{\backslash sin\backslash alpha\}a=\backslash frac\{\backslash sin\backslash beta\}b=\backslash frac\{\backslash sin\backslash gamma\}c=\backslash frac1d$

където d е диаметърът на описаната окръжност. Синусовата теорема може да се използва, за да бъдат намерени другите две страни на триъглник, ако са известни два ъгъла и третата страна.

Точки, прави и описани окръжности

---

• Описана около триъгълник окръжност, се нарича тази окръжност, която преминава и през трите му върха.

Triangle.Circumcenter.png | Circumcircles of triangles.png

• Перпендикулярна бисектриса (симетрала) в триъгълник е правата линия, която минава препрендикулярно през средата на някоя от страните. Трите перпендикуляри бисектриси се пресичат в точка, която е и център на описаната около триъгълника окръжност. Диаметърът на тази окръжност може да бъде намерен като се използва синусовата теорема, посочена по-горе.

• Теоремата на Талес гласи, че ако центърът на окръжността, описана около един триъгълник, лежи на една от страните на триъгълника, то срещуположният ъгъл е прав. Също така, ако центърът се намира във вътрешността на триъгълника, то триъгълникът е остроъгълен, а ако е центърът е извън триъгълника, то триъгълникът е тъпоъгълен.

• Височина в триъгълника е перпендикулярът, спуснат от всеки връх към срещуположната страна. Тази срещуположна страна се нарича основа към височината. Трите височини на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър. Ортоцентърът лежи вътре в триъгълника, само ако той не е тъпоъгълен. В противен случаи, ортоцентърът се намира извън триъгълника.

• Ъглополовящите в един тръгълник са тези прави, който минават през всеки от ъглъте, като ги разполовяват. Пресечната точка на трите ъглоповящи е център на вписаната в един триъгълник окръжност. Вписана е тази окръжност, за която страните на описания около нея триъгълник са допирателни до нея. Има и три други окръжности - това са външно вписаните окръжности, които лежат външно за триъгълника. Центровете на вътрешно вписаната и външно описаните окръжности формират ортоцентричната система.

• Медианата в триъгълника е правата, която минава през върха и средата на срешулежащата му страна. Трите медиани се пресичат в една точка, която се нарича медицентър. Това е също и центъра на тежестта. Медицентърът разделя всяка медиана в отношение 2:1, тоест разстоянието от върха до медицентъра е два пъти по-голямо от медицентъра по средата на отсрещната страна.
  • Средите на трите страни и петите на трите височините лежат върху една окръжност - окръжността на деветте точки. Останалите три точки са средни точки за тези отсечки от височините, които са заключени между върховете и ортоцентъра. Радиусът на тази окръжност е половината от този на описаната около триъгълника окръжност.
  
  
  • Медицентърът (в жълто), ортоцентърът (синьо), центърът на описаната окръжност (зелено) и центъра на 9-точковата окръжност (в червено) лежат на една линия, позната като права на Ойлер (червената линия). Центърът на 9-точковата окръжност съвпада със средата на отсечката, свързваща ортоцентъра и центъра на описаната окръжност. Разстоянието между медицентъра и центъра на описаната окръжност е равен на половината от разстоянието между медицентъра и ортоцентъра. Центърът на вписаната окръжност не лежи на тази линия.
  • Симедиана - ако една права е симетрична спрямо ъглополовящата на един ъгъл относно ъглополовящата, тя се нарича симедиана. Трите симедиани се пресичат в точка на Лемуан.
  • Средна отсечка е отсечка, съединяваща средите на две от страните. Нейната дължина е равна на 1/2 от дължината на срещулежащата. Средната отсечка е успоредна на срещулежащата страна.

  
  

  Лице на триъгълник

  ---

  Изчисляването на лицето на триъгълника, може да стане по няколко начина:

  • С метода на геометрията

  Лицето S на триъгълника е S = ½bh, където b е дължината на която и да е неговата страна, а h (височината) е препендикуляра, спуснат от върха към основата.

  За да се намери лицето на триъгълника (зелено), първо се прави точно негово копие (синьо), което се завърта наg 180°, и се долепя по първия, за да се получи успоредник. След това се отрязва излишната част и се долепя от другата страна на успоредника, за да получим правоъгълник. Тъй като лицето на правоъгълника е bh, то лицето на триъгълника е  ½bh.

  • С вектори

  Лицето на успоредника може да бъде изчислено с вектори. Ако AB и AC са насочените вектори от A към B и от A към C, съответно лицето на успоредника АBDC е |AB × AC|, е векторното прозиведение на AB и AC. |AB × AC| е също равно на |h × AC|, където h представлява височината h изразена като вектор.

  Лицето на триъгълника ABC е половината от това и тогава S = ½|AB × AC|.

  • Използвайки тригонометрични функции

  Височината на триъгълника може да бъде намерена с помощта на тригонометрията. Ако използваме означенията на четрежа вдясно, височината е h = a sin γ. Замествайки h във формулата S = ½bh the лицето на триъгълника може да бъде изразено като S = ½ab sin γ. Лицето на успоредника е ab sin γ.

  • Използвайки координатна система

  Ако върхът A е с координати началото на координатната система (0, 0), а координатите на другите два върха са B = (x₁, y₁) и C = (x₂, y₂), тоагва лицето S може да бъде изчислено като 1/2 пъти абсолютната стойност на детерминантата.

  или S = ½ |x₁y₂ − x₂y₁|.

  • Формула на Херон

  Друг начин да се намери лицето на един триъгълник е Хероновата формула:

  $S\; =\; \backslash sqrt\{p(p-a)(p-b)(p-c)\}$

  където p = ½ (a + b + c) е полупериметъра на триъгълника.

  Триъгълници в неевклидови геометрии

  ---

  Ако триъгълника не лежи изцяло в една равнина, то той се подчинява на формулите в т.нар. неевклидови геометрии, а не на посочените по-горе. Пример за такъв триъгълник са точки от земната повърхност с 0° ш. и 0° д., 0° ш. и 90° и.д. и Северния полюс, които са вместо равнина са върху сфера. И трите ъгъла са прави и сбора им не е 180.

  Аналози

  ---

  • Тетраедър
  • Пентахрон

  Триъгълници

  مثلث | Triangle | Trojúhelník | Trekant | Dreieck | Kolmnurk | Triangle | Triángulo | Triangulo | Triangle | Triángulo | Triangulo | Þríhyrningur | Segi Tiga | Triangolo | משולש | Trikampis | Driehoek | 三角形 | Trójkąt (geometria) | Triângulo (polígono) | Треугольник | Trikotnik | Kolmio | Triangel | รูปสามเหลี่ยม | Tam giác | Üçgen | Трикутник | 三角形